確率・統計の数学基礎

この問題では余事象を用いた確率計算を学習します。「少なくとも1回成功する」確率を直接求めるよりも、「すべて失敗する」確率から考える方が計算が簡単になる典型的なケースです。

余事象の考え方

事象 $A$ に対して、「$A$ が起きない」事象を余事象 $\bar{A}$ と呼び、以下の関係が成り立ちます：

$P(A) = 1 - P(\bar{A})$

1. 問題の整理

• 成功確率 $p = 0.2$
• 試行回数 $n = 3$
• 求める事象：3回のうち少なくとも1回成功する

2. 余事象の確率計算

「少なくとも1回成功する」の余事象は「3回ともすべて失敗する」です。

1回の試行で失敗する確率は：$1 - 0.2 = 0.8$

各試行は独立なので、3回連続で失敗する確率は：

$P(\text{すべて失敗}) = 0.8 \times 0.8 \times 0.8 = 0.8^3 = 0.512$

3. 求める確率の計算

$P(\text{少なくとも1回成功}) = 1 - P(\text{すべて失敗})$

$= 1 - 0.512 = 0.488$