この問題では余事象を用いた確率計算を学習します。「少なくとも1回成功する」確率を直接求めるよりも、「すべて失敗する」確率から考える方が計算が簡単になる典型的なケースです。
余事象の考え方
事象 $A$ に対して、「$A$ が起きない」事象を余事象 $\bar{A}$ と呼び、以下の関係が成り立ちます：
$P(A) = 1 - P(\bar{A})$
1. 問題の整理
- 成功確率 $p = 0.2$
- 試行回数 $n = 3$
- 求める事象：3回のうち少なくとも1回成功する
2. 余事象の確率計算
「少なくとも1回成功する」の余事象は「3回ともすべて失敗する」です。
1回の試行で失敗する確率は：$1 - 0.2 = 0.8$
各試行は独立なので、3回連続で失敗する確率は：
$P(\text{すべて失敗}) = 0.8 \times 0.8 \times 0.8 = 0.8^3 = 0.512$
3. 求める確率の計算
$P(\text{少なくとも1回成功}) = 1 - P(\text{すべて失敗})$
$= 1 - 0.512 = 0.488$
ビジネスでの応用
この考え方はリスク管理や信頼性設計で頻出します：
- 冗長化システム: 複数のサーバーのうち少なくとも1台が稼働する確率
- マーケティング: 複数回のアプローチで少なくとも1回コンバージョンする確率
- 品質管理: 抜き取り検査で少なくとも1個の不良品が見つかる確率