この問題ではポアソン分布の確率計算を学習します。ランダムな到着数や発生回数を扱う分布で、サーバー負荷や事故件数の予測に使われます。
ポアソン分布の確率質量関数
平均 $\lambda$ 回発生する事象がちょうど $k$ 回起きる確率は：
$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$
1. 余事象の利用
$P(X \ge 3)$ を直接計算するのは（無限和になるため）不可能です。余事象 $P(X < 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ を計算して 1 から引きます。
2. 各項の計算
$\lambda = 2.5$ です。
- $P(X=0) = e^{-2.5} \frac{2.5^0}{0!} = e^{-2.5} \cdot 1$
- $P(X=1) = e^{-2.5} \frac{2.5^1}{1!} = e^{-2.5} \cdot 2.5$
- $P(X=2) = e^{-2.5} \frac{2.5^2}{2!} = e^{-2.5} \cdot \frac{2.5^2}{2}$
3. まとめる
$P(X < 3) = e^{-2.5}(1 + 2.5 + \frac{2.5^2}{2})$
したがって、求める確率は：
$1 - e^{-2.5}(1 + 2.5 + \frac{2.5^2}{2})$
レアケースの確率
工場の不良品数や、Webサイトへのアクセス集中など、確率は低いが試行回数が多い現象はポアソン分布によく従います。