この問題では共分散行列 (Variance-Covariance Matrix) の成分の意味を理解し、そこから相関係数を導出する方法を学習します。多変量解析における基本データ構造です。
共分散行列の構造
2変数の場合、行列は以下のように構成されます：
$\Sigma = \begin{pmatrix} \operatorname{Var}(X) & \operatorname{Cov}(X,Y) \\ \operatorname{Cov}(Y,X) & \operatorname{Var}(Y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma_X^2 & \sigma_{XY} \\ \sigma_{XY} & \sigma_Y^2 \end{pmatrix}$
1. 成分の読み取り
与えられた行列 $\begin{pmatrix}9 & 6\\6 & 16\end{pmatrix}$ から：
- $\sigma_X^2 = 9 \implies \sigma_X = 3$
- $\sigma_Y^2 = 16 \implies \sigma_Y = 4$
- $\sigma_{XY} = 6$
2. 相関係数の定義
相関係数 $\rho$ は共分散を各標準偏差で割ったものです：
$\rho = \frac{\sigma_{XY}}{\sigma_X \sigma_Y}$
3. 計算の実行
$\rho = \frac{6}{3 \times 4} = \frac{6}{12} = 0.5$
相関と独立
多変量正規分布において、共分散（および相関係数）が0であることは、その変数間が独立であることを意味します。これは一般の分布では成り立たない、正規分布特有の強力な性質です。