<h4>HPD区間と等裾確率区間の根本的違い</h4><p>信頼区間の構成には複数の方法があり、それぞれ異なる原理に基づいています。特にベイズ統計では、事後分布の性質に応じて最適な区間選択が重要です。</p><div class='key-point'><div class='key-point-title'>2つの区間推定法</div><ul><li><strong>等裾確率区間</strong>：分布の両端から等しい確率（例：各2.5%）を除いた区間</li><li><strong>HPD区間</strong>：指定された確率を含む区間の中で、最も短い（最高密度）区間</li></ul></div><h4>対称分布での比較</h4><p class='step'><strong>Step 1: 正規分布 N(0,1) の場合</strong></p><p>標準正規分布は完全に対称なので：</p><div class='formula'>$P(-1.96 ≤ Z ≤ 1.96) = 0.95
lt;/div><p><strong>等裾確率区間</strong>：</p><ul><li>下側2.5%点：$-1.96
lt;/li><li>上側2.5%点：$+1.96
lt;/li><li>区間：$[-1.96, 1.96]
lt;/li><li>区間幅：$3.92
lt;/li></ul><p><strong>HPD区間</strong>：</p><ul><li>最高密度は中心（平均）周辺に集中</li><li>密度が等しい2点を結ぶと、対称性により同じ区間</li><li>区間：$[-1.96, 1.96]
lt;/li><li>区間幅：$3.92
lt;/li></ul><p class='step'><strong>Step 2: 対称分布の一般的性質</strong></p><p>対称分布では：</p><div class='formula'>$f(\mu - x) = f(\mu + x)$ for all $x
lt;/div><p>この性質により、最高密度領域も対称になり、等裾確率区間と一致します。</p><h4>非対称分布での比較</h4><p class='step'><strong>Step 3: 右歪み分布の例（ガンマ分布）</strong></p><p>ガンマ分布 $\text{Gamma}(2, 1)$ の場合：</p><ul><li>平均：$2$、分散：$2
lt;/li><li>最頻値：$1$（平均より小さい）</li><li>右の裾が長い非対称分布</li></ul><p><strong>等裾確率区間</strong>：</p><ul><li>下側2.5%点：約$0.24
lt;/li><li>上側2.5%点：約$6.30
lt;/li><li>区間：$[0.24, 6.30]
lt;/li><li>区間幅：$6.06
lt;/li></ul><p><strong>HPD区間</strong>：</p><ul><li>最高密度は最頻値$1$周辺に集中</li><li>右の裾を切り詰めて、より密度の高い左側を含める</li><li>区間：約$[0.36, 5.64]
lt;/li><li>区間幅：約$5.28
lt;/li></ul><div class='key-point'><div class='key-point-title'>HPD区間の優位性</div><p>非対称分布では、HPD区間が以下の利点を持ちます：</p><ul><li><strong>最短性</strong>：同じ確率を含む区間の中で最も短い</li><li><strong>最高密度</strong>：最も「尤もらしい」値の範囲を含む</li><li><strong>情報効率</strong>：より高い情報量を提供</li></ul></div><p class='step'><strong>Step 4: 数学的な比較</strong></p><p>区間の長さを比較：</p><table class='table table-bordered'><tr><th>分布タイプ</th><th>等裾確率区間</th><th>HPD区間</th><th>関係</th></tr><tr><td><strong>対称分布</strong></td><td>$L_{ET}
lt;/td><td>$L_{HPD}
lt;/td><td>$L_{ET} = L_{HPD}
lt;/td></tr><tr><td><strong>非対称分布</strong></td><td>$L_{ET}
lt;/td><td>$L_{HPD}
lt;/td><td>$L_{ET} > L_{HPD}
lt;/td></tr></table><p class='step'><strong>Step 5: HPD区間の構成原理</strong></p><p>HPD区間 $[L, U]$ は以下を満たします：</p><ol><li><strong>確率条件</strong>：$\int_L^U f(\theta) d\theta = 1-\alpha
lt;/li><li><strong>密度条件</strong>：$f(L) = f(U) = k$（境界で密度が等しい）</li><li><strong>最適性条件</strong>：$f(\theta) ≥ k$ for all $\theta \in [L, U]
lt;/li></ol><h4>実用的な含意</h4><p class='step'><strong>Step 6: いつHPD区間を使うべきか</strong></p><p><strong>HPD区間が特に有用な場合</strong>：</p><ul><li>事後分布が非対称な場合</li><li>最も信頼できるパラメータ範囲を知りたい場合</li><li>区間の長さを最小化したい場合</li><li>多峰分布での信頼区間</li></ul><p><strong>等裾確率区間が適切な場合</strong>：</p><ul><li>対称分布の場合</li><li>計算の簡便性を重視する場合</li><li>従来の統計手法との比較が必要な場合</li></ul><p class='step'><strong>Step 7: 多峰分布での特殊性</strong></p><p>多峰分布（例：混合分布）では：</p><ul><li><strong>HPD区間</strong>：複数の分離した区間になる可能性</li><li><strong>等裾確率区間</strong>：常に単一の連続区間</li></ul><p>例：二峰性分布では、HPD区間が $[a, b] ∪ [c, d]$ の形になることがある</p><div class='key-point'><div class='key-point-title'>実践的ガイドライン</div><table class='table table-bordered'><tr><th>分布の性質</th><th>推奨する区間</th><th>理由</th></tr><tr><td><strong>対称・単峰</strong></td><td>どちらでも同じ</td><td>結果が一致するため</td></tr><tr><td><strong>非対称・単峰</strong></td><td>HPD区間</td><td>より短く、高密度領域を捉える</td></tr><tr><td><strong>多峰分布</strong></td><td>文脈に依存</td><td>解釈可能性vs最適性のトレードオフ</td></tr></table></div><h4>計算上の考慮</h4><p class='step'><strong>Step 8: 計算の複雑さ</strong></p><p><strong>等裾確率区間</strong>：</p><div class='formula'>$[F^{-1}(\alpha/2), F^{-1}(1-\alpha/2)]
lt;/div><p>分位数関数が利用できれば簡単に計算可能</p><p><strong>HPD区間</strong>：</p><ul><li>密度関数の評価が必要</li><li>数値的最適化が必要な場合が多い</li><li>計算コストは高いが、より情報量の多い結果</li></ul><p>したがって、<strong>分布Aでは両区間がほぼ同じだが、分布BではHPD区間の方が短くなる</strong>が正解です。</p>