検出力関数の数学的定義
検出力関数$\beta(\theta)$は、真のパラメータ値$\theta$に対して帰無仮説を棄却する確率を表します：
$\beta(\theta) = P_{\theta}(\text{帰無仮説を棄却}) = P_{\theta}(T \in C)$
ここで$T$は検定統計量、$C$は棄却域です。
検出力関数の基本性質
Step 1: 帰無仮説の下での検出力
帰無仮説が真のとき、検出力関数の値は第1種の誤りの確率です。単純帰無仮説$H_0: \theta = \theta_0$に対するサイズ$\alpha$の検定では：
$\beta(\theta_0) = P_{\theta_0}(\text{帰無仮説を棄却}) = \alpha$
複合帰無仮説$H_0: \theta \in \Theta_0$では、$\Theta_0$のすべての$\theta$で$\beta(\theta) \leq \alpha$となり、サイズ$\alpha$とは$\sup_{\theta \in \Theta_0} \beta(\theta) = \alpha$のことです。等号は普通、$\Theta_0$の境界の点でだけ成り立ちます。また離散分布では、棄却確率をちょうど$\alpha$にできず、$\alpha$未満になることがあります。
Step 2: 対立仮説の下での検出力
対立仮説$H_1: \theta \in \Theta_1$が真のとき、$\theta_1 \in \Theta_1$に対して：
$\beta(\theta_1) = P_{\theta_1}(\text{帰無仮説を棄却}) = 1 - P_{\theta_1}(\text{帰無仮説を受容})$
ここで$P_{\theta_1}(\text{帰無仮説を受容})$は第2種の誤りの確率なので、第2種の誤りの確率は$1 - \beta(\theta_1)$です。本問は検出力関数を$\beta(\theta)$と書いていますが、第2種の誤りの確率を$\beta$と書く本も多いので、記号の意味を確かめて読んでください。
検出力に影響する要因
Step 3: 効果量と検出力の関係
効果量$\delta$が大きいほど検出力は高くなります。例えば、平均の検定では：
$\delta = \frac{|\mu_1 - \mu_0|}{\sigma}$
効果量が大きい $\Rightarrow$ 検出力が高い
Step 4: 標本サイズと検出力の関係
標本サイズ$n$が大きいほど検出力は高くなります。例えば分散既知の正規平均の両側$z$検定で、標準化した効果量を$\delta = (\mu_1 - \mu_0)/\sigma$とすると：
$\beta(\theta_1) = \Phi\left(\sqrt{n}\delta - z_{\alpha/2}\right) + \Phi\left(-\sqrt{n}\delta - z_{\alpha/2}\right)$
$n$が大きい $\Rightarrow$ 検出力が高い
検出力関数の形状と特性
検出力分析
- 研究計画：必要標本サイズの決定
- 検定の評価：異なる検定法の性能比較
- 効果量の解釈：実質的意味のある差の検出
- 統計的有意性：p値の解釈における注意点
- メタ分析：研究間の検出力の比較
Step 5: 検出力曲線の特徴
| パラメータ領域 | 検出力の値 | 解釈 |
|---|
| $\theta \in \Theta_0$ | $\beta(\theta) \leq \alpha$（境界で$= \alpha$） | 第1種の誤りの確率 |
| $\theta$が$\Theta_0$に近い | $\beta(\theta) \approx \alpha$ | 低い検出力 |
| $\theta$が$\Theta_0$から遠い | $\beta(\theta) \to 1$ | 高い検出力 |
一様最強力検定との関係
Step 6: 最適性の概念
サイズ$\alpha$の検定の中で、すべての$\theta_1 \in \Theta_1$に対して検出力$\beta(\theta_1)$を最大化する検定を一様最強力（UMP）検定と呼びます。
したがって、「帰無仮説が真のとき$\beta(\theta_0) = \alpha$（有意水準）」が正しい記述です。