<h4>検出力関数の数学的定義</h4><p>検出力関数$\beta(\theta)$は、真のパラメータ値$\theta$に対して帰無仮説を棄却する確率を表します：</p><div class='formula'>$\beta(\theta) = P_{\theta}(\text{帰無仮説を棄却}) = P_{\theta}(T \in C)
lt;/div><p>ここで$T$は検定統計量、$C$は棄却域です。</p><h4>検出力関数の基本性質</h4><p class='step'><strong>Step 1: 帰無仮説の下での検出力</strong></p><p>帰無仮説$H_0: \theta \in \Theta_0$が真のとき、$\theta_0 \in \Theta_0$に対して：</p><div class='formula'>$\beta(\theta_0) = P_{\theta_0}(\text{帰無仮説を棄却}) = \alpha
lt;/div><p>これは第1種の誤りの確率（有意水準）と等しくなります。</p><p class='step'><strong>Step 2: 対立仮説の下での検出力</strong></p><p>対立仮説$H_1: \theta \in \Theta_1$が真のとき、$\theta_1 \in \Theta_1$に対して：</p><div class='formula'>$\beta(\theta_1) = P_{\theta_1}(\text{帰無仮説を棄却}) = 1 - P_{\theta_1}(\text{帰無仮説を受容})
lt;/div><p>ここで$P_{\theta_1}(\text{帰無仮説を受容})$は第2種の誤りの確率$\beta_{\text{error}}$です。</p><h4>検出力に影響する要因</h4><p class='step'><strong>Step 3: 効果量と検出力の関係</strong></p><p>効果量$\delta$が大きいほど検出力は高くなります。例えば、平均の検定では：</p><div class='formula'>$\delta = \frac{|\mu_1 - \mu_0|}{\sigma}
lt;/div><p>効果量が大きい $\Rightarrow$ 検出力が高い</p><p class='step'><strong>Step 4: 標本サイズと検出力の関係</strong></p><p>標本サイズ$n$が大きいほど検出力は高くなります：</p><div class='formula'>$\beta(\theta_1) = \Phi\left(\frac{\sqrt{n}\delta - z_{\alpha/2}}{1}\right) + \Phi\left(\frac{\sqrt{n}\delta + z_{\alpha/2}}{1}\right)
lt;/div><p>$n$が大きい $\Rightarrow$ 検出力が高い</p><h4>検出力関数の形状と特性</h4><div class='key-point'><div class='key-point-title'>検出力分析</div><ul><li><strong>研究計画</strong>：必要標本サイズの決定</li><li><strong>検定の評価</strong>：異なる検定法の性能比較</li><li><strong>効果量の解釈</strong>：実質的意味のある差の検出</li><li><strong>統計的有意性</strong>：p値の解釈における注意点</li><li><strong>メタ分析</strong>：研究間の検出力の比較</li></ul></div><p class='step'><strong>Step 5: 検出力曲線の特徴</strong></p><table class='table table-bordered'><tr><th>パラメータ領域</th><th>検出力の値</th><th>解釈</th></tr><tr><td>$\theta \in \Theta_0
lt;/td><td>$\beta(\theta) = \alpha
lt;/td><td>第1種の誤り</td></tr><tr><td>$\theta$が$\Theta_0$に近い</td><td>$\beta(\theta) \approx \alpha
lt;/td><td>低い検出力</td></tr><tr><td>$\theta$が$\Theta_0$から遠い</td><td>$\beta(\theta) \to 1
lt;/td><td>高い検出力</td></tr></table><h4>一様最強力検定との関係</h4><p class='step'><strong>Step 6: 最適性の概念</strong></p><p>サイズ$\alpha$の検定の中で、すべての$\theta_1 \in \Theta_1$に対して検出力$\beta(\theta_1)$を最大化する検定を一様最強力（UMP）検定と呼びます。</p><p>したがって、「帰無仮説が真のとき$\beta(\theta_0) = \alpha$（有意水準）」が正しい記述です。</p>