統計的推測（検定）

仮説検定の基本概念、検定統計量の分布、有意水準と検出力、多重比較など統計検定準1級レベルの検定理論

多重比較の問題レベル2

多重比較において、ボンフェローニ補正を適用する理由として最も適切なものはどれか。

解説

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複数の仮説検定$H_{0i}$ $(i = 1, 2, \ldots, m)$を同時に行うとき、全体としての第1種の誤りの確率（FWER: Family-wise Error Rate）が個々の検定の有意水準より大きくなる問題です。

$\text{FWER} = P\left(\bigcup_{i=1}^m \{H_{0i}\text{が真なのに棄却される}\}\right)$

Step 1: 独立な検定の場合

$m$個の独立な検定を各々有意水準$\alpha$で行う場合：

$\text{FWER} = P\left(\bigcup_{i=1}^m A_i\right) = 1 - P\left(\bigcap_{i=1}^m A_i^c\right) = 1 - \prod_{i=1}^m (1-\alpha) = 1 - (1-\alpha)^m$

ここで$A_i$は「$i$番目の検定で第1種の誤りが生じる事象」です。

Step 2: FWERの増大

$m$が増加するとFWERは急激に増大：

Step 3: ボンフェローニの不等式

任意の事象$A_1, A_2, \ldots, A_m$に対して：

$P\left(\bigcup_{i=1}^m A_i\right) \leq \sum_{i=1}^m P(A_i)$

Step 4: ボンフェローニ補正の適用

各検定の有意水準を$\alpha/m$に設定すると：

$\text{FWER} \leq \sum_{i=1}^m \frac{\alpha}{m} = m \times \frac{\alpha}{m} = \alpha$

これにより全体のFWERを$\alpha$以下に制御できます。

多重比較補正法の分類

FWER制御法：

FDR制御法：

Step 5: 保守性と検出力の関係

ボンフェローニ補正は保守的（conservative）であり：

$\text{実際のFWER} \leq \alpha$

特に検定間に正の相関がある場合、実際のFWERは$\alpha$より大幅に小さくなり、検出力が低下します。

Step 6: 適用場面の選択

したがって、ボンフェローニ補正を適用する理由は「第1種の誤りの確率を制御するため」です。

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