<h4>多重比較問題の数学的定式化</h4><p>複数の仮説検定$H_{0i}$ $(i = 1, 2, \ldots, m)$を同時に行うとき、全体としての第1種の誤りの確率（FWER: Family-wise Error Rate）が個々の検定の有意水準より大きくなる問題です。</p><div class='formula'>$\text{FWER} = P\left(\bigcup_{i=1}^m \{H_{0i}\text{が真なのに棄却される}\}\right)
lt;/div><h4>多重比較問題の理論的背景</h4><p class='step'><strong>Step 1: 独立な検定の場合</strong></p><p>$m$個の独立な検定を各々有意水準$\alpha$で行う場合：</p><div class='formula'>$\text{FWER} = P\left(\bigcup_{i=1}^m A_i\right) = 1 - P\left(\bigcap_{i=1}^m A_i^c\right) = 1 - \prod_{i=1}^m (1-\alpha) = 1 - (1-\alpha)^m
lt;/div><p>ここで$A_i$は「$i$番目の検定で第1種の誤りが生じる事象」です。</p><p class='step'><strong>Step 2: FWERの増大</strong></p><p>$m$が増加するとFWERは急激に増大：</p><table class='table table-bordered'><tr><th>検定数 $m
lt;/th><th>個別有意水準 $\alpha = 0.05
lt;/th><th>FWER</th></tr><tr><td>1</td><td>0.05</td><td>0.050</td></tr><tr><td>5</td><td>0.05</td><td>0.226</td></tr><tr><td>10</td><td>0.05</td><td>0.401</td></tr><tr><td>20</td><td>0.05</td><td>0.642</td></tr></table><h4>ボンフェローニ補正の数学的原理</h4><p class='step'><strong>Step 3: ボンフェローニの不等式</strong></p><p>任意の事象$A_1, A_2, \ldots, A_m$に対して：</p><div class='formula'>$P\left(\bigcup_{i=1}^m A_i\right) \leq \sum_{i=1}^m P(A_i)
lt;/div><p class='step'><strong>Step 4: ボンフェローニ補正の適用</strong></p><p>各検定の有意水準を$\alpha/m$に設定すると：</p><div class='formula'>$\text{FWER} \leq \sum_{i=1}^m \frac{\alpha}{m} = m \times \frac{\alpha}{m} = \alpha
lt;/div><p>これにより全体のFWERを$\alpha$以下に制御できます。</p><h4>他の多重比較補正法との比較</h4><div class='key-point'><div class='key-point-title'>多重比較補正法の分類</div><p><strong>FWER制御法</strong>：</p><ul><li><strong>ボンフェローニ法</strong>：保守的だが単純</li><li><strong>ホルム法</strong>：ボンフェローニより強力</li><li><strong>シダック法</strong>：独立性仮定下で正確</li><li><strong>Tukey法</strong>：全ペア比較に特化</li></ul><p><strong>FDR制御法</strong>：</p><ul><li><strong>Benjamini-Hochberg法</strong>：探索的研究に適用</li><li><strong>Benjamini-Yekutieli法</strong>：依存性に頑健</li></ul></div><h4>ボンフェローニ補正の特性</h4><p class='step'><strong>Step 5: 保守性と検出力の関係</strong></p><p>ボンフェローニ補正は保守的（conservative）であり：</p><div class='formula'>$\text{実際のFWER} \leq \alpha
lt;/div><p>特に検定間に正の相関がある場合、実際のFWERは$\alpha$より大幅に小さくなり、検出力が低下します。</p><p class='step'><strong>Step 6: 適用場面の選択</strong></p><table class='table table-bordered'><tr><th>研究の性質</th><th>推奨補正法</th><th>理由</th></tr><tr><td>確認的研究</td><td>FWER制御</td><td>厳格な誤り制御</td></tr><tr><td>探索的研究</td><td>FDR制御</td><td>発見の機会を重視</td></tr><tr><td>計画的比較</td><td>補正なし</td><td>事前仮説に基づく</td></tr><tr><td>事後比較</td><td>Tukey/Scheffe</td><td>全比較を考慮</td></tr></table><p>したがって、ボンフェローニ補正を適用する理由は「第1種の誤りの確率を制御するため」です。</p>