統計的推測（検定）

仮説検定の基本概念、検定統計量の分布、有意水準と検出力、多重比較など統計検定準1級レベルの検定理論

情報量規準によるモデル選択レベル3

AIC（赤池情報量規準）とBIC（ベイズ情報量規準）の比較として正しいものはどれか。

解説

解答と解説を表示

情報量規準は、モデルの適合度と複雑さのトレードオフを定量化し、最適なモデルを選択するための指標です。

Step 1: AIC（赤池情報量規準）

$AIC = -2\ell(\hat{\theta}) + 2k$

ここで、$\ell(\hat{\theta})$は最大対数尤度、$k$はパラメータ数です。

Step 2: BIC（ベイズ情報量規準）

$BIC = -2\ell(\hat{\theta}) + k\log n$

ここで、$n$は標本サイズです。

Step 3: ペナルティ項の標本サイズ依存性

情報量規準	ペナルティ項	標本サイズ依存性
AIC	$2k$	なし（定数）
BIC	$k\log n$	あり（対数的増加）

Step 4: 臨界点の計算

$k\log n > 2k$となる条件：

$\log n > 2 \Leftrightarrow n > e^2 \approx 7.39$

したがって、$n \geq 8$のとき、BICのペナルティがAICより大きくなります。

Step 5: 情報量規準とモデル複雑度

情報量規準が小さいほど良いモデルとされるため：

Step 6: 漸近的性質の比較

Step 7: 標本サイズによる使い分け

$\begin{cases}n \leq 40: & \text{AICc（修正AIC）を推奨} \\40 < n \leq 150: & \text{AICとBICの比較検討} \\n > 150: & \text{BICが真のモデル選択に有利}\end{cases}$

Step 8: 研究目的による選択

したがって、「標本サイズが大きいとき、BICはAICより単純なモデルを選びやすい」が正しい記述です。

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