<h4>ベイズファクターの数学的定義</h4><p>ベイズファクターは、2つの仮説$H_1$と$H_2$に対するデータ$D$の相対的支持度を表す尤度比です：</p><div class='formula'>$BF_{12} = \frac{P(D|H_1)}{P(D|H_2)} = \frac{\text{仮説}H_1\text{の下でのデータの尤度}}{\text{仮説}H_2\text{の下でのデータの尤度}}
lt;/div><h4>ベイズの定理による事後確率計算</h4><p class='step'><strong>Step 1: ベイズの定理の適用</strong></p><p>各仮説の事後確率は：</p><div class='formula'>$\begin{align}P(H_1|D) &= \frac{P(D|H_1)P(H_1)}{P(D)} \\P(H_2|D) &= \frac{P(D|H_2)P(H_2)}{P(D)}\end{align}
lt;/div><p class='step'><strong>Step 2: 事後オッズの計算</strong></p><p>事後オッズは事前オッズとベイズファクターの積：</p><div class='formula'>$\frac{P(H_1|D)}{P(H_2|D)} = \frac{P(D|H_1)P(H_1)}{P(D|H_2)P(H_2)} = \frac{P(D|H_1)}{P(D|H_2)} \times \frac{P(H_1)}{P(H_2)} = BF_{12} \times \frac{P(H_1)}{P(H_2)}
lt;/div><p class='step'><strong>Step 3: 数値計算</strong></p><p>事前確率が等しい場合（$P(H_1) = P(H_2) = 0.5$）：</p><div class='formula'>$\frac{P(H_1|D)}{P(H_2|D)} = 4 \times \frac{0.5}{0.5} = 4 \times 1 = 4
lt;/div><h4>事後確率の導出</h4><p class='step'><strong>Step 4: 正規化条件の利用</strong></p><p>事後確率の和は1になるため：</p><div class='formula'>$P(H_1|D) + P(H_2|D) = 1
lt;/div><p>事後オッズの関係式$P(H_1|D) = 4P(H_2|D)$を代入：</p><div class='formula'>$4P(H_2|D) + P(H_2|D) = 1 \Rightarrow 5P(H_2|D) = 1 \Rightarrow P(H_2|D) = \frac{1}{5} = 0.2
lt;/div><p>したがって：</p><div class='formula'>$P(H_1|D) = 4 \times 0.2 = 0.8
lt;/div><h4>ベイズファクターの解釈基準</h4><div class='key-point'><div class='key-point-title'>ベイズファクターの証拠の強さ</div><table class='table table-bordered'><tr><th>$BF_{12}$の値</th><th>$H_1$に対する証拠</th><th>解釈</th></tr><tr><td>1 - 3</td><td>弱い証拠</td><td>ほとんど価値なし</td></tr><tr><td>3 - 10</td><td>中程度の証拠</td><td>実質的な支持</td></tr><tr><td>10 - 30</td><td>強い証拠</td><td>強力な支持</td></tr><tr><td>30 - 100</td><td>非常に強い証拠</td><td>決定的な支持</td></tr><tr><td>> 100</td><td>強い証拠</td><td>圧倒的な支持</td></tr></table></div><h4>頻度論的検定との比較</h4><p class='step'><strong>Step 5: ベイズファクター vs p値</strong></p><table class='table table-bordered'><tr><th>特徴</th><th>ベイズファクター</th><th>p値</th></tr><tr><td>解釈</td><td>仮説間の相対的支持度</td><td>帰無仮説に対する証拠の強さ</td></tr><tr><td>事前情報</td><td>組み込み可能</td><td>考慮しない</td></tr><tr><td>仮説の扱い</td><td>対称的</td><td>帰無仮説が特別</td></tr><tr><td>標本サイズ</td><td>自動的にペナルティ</td><td>大標本で小さくなる傾向</td></tr><tr><td>意思決定</td><td>証拠の蓄積</td><td>閾値による二分法</td></tr></table></p>