特性関数と分布の一意性 - 問題演習問題10

特性関数と分布の一意性レベル1

確率変数$X$の特性関数が$\phi_X(t) = e^{-|t|}$で与えられるとき、$X$の確率密度関数はどれか。

解説

解答と解説を表示

<p>この問題では、<strong>特性関数と確率密度関数の深い関係</strong>について理解を深めます。特性関数は確率論におけるツールの一つで、フーリエ解析と確率論の架け橋として、分布論の理論を支えています。</p><h4>特性関数：確率分布の完全記述子</h4><p>特性関数（Characteristic Function）は、分布の同定、収束の証明、独立性の検証など多方面で威力を発揮します。</p><p class='step'><strong>Step 1: 特性関数の理論的基礎</strong></p><p>確率変数$X$の特性関数は以下で定義されます：</p><div class='formula'>$\phi_X(t) = E[e^{itX}] = \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx} f(x) dx$

ここで$i = \sqrt{-1}$は虚数単位です。

特性関数

存在性：すべての確率分布に対して必ず存在
一意性：分布を一意に決定（逆転定理）
連続性：すべての点で連続
正規化：$\phi_X(0) = 1$
対称性：$\phi_X(-t) = \overline{\phi_X(t)}$（複素共役）

Step 2: フーリエ逆変換の理論

特性関数から確率密度関数への変換は、フーリエ逆変換によって実現されます：

$f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-itx} \phi(t) dt$

これは、フーリエによる熱伝導方程式の研究から発展した、調和解析の核心的定理です。

Step 3: 与えられた特性関数の分析

$\phi_X(t) = e^{-|t|}$

この特性関数は：

実数値：虚数部が0（対称分布を示唆）
偶関数：$\phi(-t) = \phi(t)$（分布の対称性）
指数減衰：$|t| \to \infty$で急速に0に収束
非微分可能：$t = 0$で微分不可能（裾の重さを反映）

Step 4: フーリエ逆変換の詳細計算

$\phi_X(t) = e^{-|t|}$から確率密度関数を求めます：

$f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-itx} e^{-|t|} dt$

積分の分割：

\begin{align}f(x) &= \frac{1}{2\pi} \left[\int_{-\infty}^0 e^{-itx} e^{t} dt + \int_0^{\infty} e^{-itx} e^{-t} dt\right] \\&= \frac{1}{2\pi} \left[\int_{-\infty}^0 e^{t(1-ix)} dt + \int_0^{\infty} e^{-t(1+ix)} dt\right]\end{align}

Step 5: 複素積分の評価

第1項の計算：

$\int_{-\infty}^0 e^{t(1-ix)} dt$において、$1-ix \neq 0$なので：

\begin{align}\int_{-\infty}^0 e^{t(1-ix)} dt &= \left[\frac{e^{t(1-ix)}}{1-ix}\right]_{-\infty}^0 \\&= \frac{1 - 0}{1-ix} = \frac{1}{1-ix}\end{align}

第2項の計算：

$\int_0^{\infty} e^{-t(1+ix)} dt$において、$1+ix \neq 0$なので：</p><div class='formula'>\begin{align}\int_0^{\infty} e^{-t(1+ix)} dt &= \left[\frac{e^{-t(1+ix)}}{-(1+ix)}\right]_0^{\infty} \\&= \frac{0 - (-1)}{1+ix} = \frac{1}{1+ix}\end{align}</div><p class='step'><strong>Step 6: 複素数の合成と簡約</strong></p><div class='formula'>\begin{align}f(x) &= \frac{1}{2\pi} \left[\frac{1}{1-ix} + \frac{1}{1+ix}\right] \\&= \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{(1+ix) + (1-ix)}{(1-ix)(1+ix)} \\&= \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{2}{1 - (ix)^2} \\&= \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{2}{1 + x^2} \\&= \frac{1}{\pi(1+x^2)}\end{align}</div>

確率と確率分布