この問題では、特性関数と確率密度関数の深い関係について理解を深めます。特性関数は確率論におけるツールの一つで、フーリエ解析と確率論の架け橋として、分布論の理論を支えています。
特性関数：確率分布の完全記述子
特性関数（Characteristic Function）は、分布の同定、収束の証明、独立性の検証など多方面で威力を発揮します。
Step 1: 特性関数の理論的基礎
確率変数$X$の特性関数は以下で定義されます：
$\phi_X(t) = E[e^{itX}] = \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx} f(x) dx$
ここで$i = \sqrt{-1}$は虚数単位です。
特性関数
- 存在性：すべての確率分布に対して存在
- 一意性：分布を一意に決定（逆転定理）
- 連続性：すべての点で連続
- 正規化：$\phi_X(0) = 1$
- 対称性：$\phi_X(-t) = \overline{\phi_X(t)}$（複素共役）
Step 2: フーリエ逆変換の理論
特性関数から確率密度関数への変換は、フーリエ逆変換によって実現されます：
$f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-itx} \phi(t) dt$
これは、フーリエによる熱伝導方程式の研究から発展した、調和解析の核心的定理です。
Step 3: 与えられた特性関数の分析
$\phi_X(t) = e^{-|t|}$
この特性関数は：
- 実数値：虚数部が0（対称分布を示唆）
- 偶関数：$\phi(-t) = \phi(t)$（分布の対称性）
- 指数減衰：$|t| \to \infty$で急速に0に収束
- 非微分可能：$t = 0$で微分不可能（裾の重さを反映）
Step 4: フーリエ逆変換の詳細計算
$\phi_X(t) = e^{-|t|}$から確率密度関数を求めます：
$f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-itx} e^{-|t|} dt$
積分の分割：
\begin{align}f(x) &= \frac{1}{2\pi} \left[\int_{-\infty}^0 e^{-itx} e^{t} dt + \int_0^{\infty} e^{-itx} e^{-t} dt\right] \\&= \frac{1}{2\pi} \left[\int_{-\infty}^0 e^{t(1-ix)} dt + \int_0^{\infty} e^{-t(1+ix)} dt\right]\end{align}
Step 5: 複素積分の評価
第1項の計算：
$\int_{-\infty}^0 e^{t(1-ix)} dt$において、$1-ix \neq 0$なので：
\begin{align}\int_{-\infty}^0 e^{t(1-ix)} dt &= \left[\frac{e^{t(1-ix)}}{1-ix}\right]_{-\infty}^0 \\&= \frac{1 - 0}{1-ix} = \frac{1}{1-ix}\end{align}
第2項の計算：
$\int_0^{\infty} e^{-t(1+ix)} dt$において、$1+ix \neq 0$なので：
\begin{align}\int_0^{\infty} e^{-t(1+ix)} dt &= \left[\frac{e^{-t(1+ix)}}{-(1+ix)}\right]_0^{\infty} \\&= \frac{0 - (-1)}{1+ix} = \frac{1}{1+ix}\end{align}
Step 6: 複素数の合成と簡約
\begin{align}f(x) &= \frac{1}{2\pi} \left[\frac{1}{1-ix} + \frac{1}{1+ix}\right] \\&= \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{(1+ix) + (1-ix)}{(1-ix)(1+ix)} \\&= \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{2}{1 - (ix)^2} \\&= \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{2}{1 + x^2} \\&= \frac{1}{\pi(1+x^2)}\end{align}