移動平均モデル（MA）の自己共分散構造
MAモデルの特徴
移動平均（MA）モデルは、現在の値が現在と過去の誤差項の線形結合で表現されるモデルです。ARモデルとは対照的に、有限の記憶を持ち、常に定常であるという性質があります。
MA(1)モデルの数学的定義
Step 1: MA(1)モデルの構造
MA(1)モデルは以下のように定義されます：
$X_t = \epsilon_t + \theta \epsilon_{t-1}$
ここで：
- $\epsilon_t \sim \text{WN}(0, \sigma^2)$：ホワイトノイズ過程
- $\theta$：移動平均係数
- $E[\epsilon_t] = 0$、$\text{Var}(\epsilon_t) = \sigma^2$
- $E[\epsilon_t \epsilon_s] = 0$ for $t \neq s$（無相関）
自己共分散関数の詳細計算
Step 2: ラグ0（分散）の計算
MA(1)モデルの分散を計算します：
$\begin{align}\gamma(0) &= \text{Var}(X_t) \\&= \text{Var}(\epsilon_t + \theta \epsilon_{t-1}) \\&= \text{Var}(\epsilon_t) + \theta^2 \text{Var}(\epsilon_{t-1}) + 2\theta \text{Cov}(\epsilon_t, \epsilon_{t-1}) \\&= \sigma^2 + \theta^2 \sigma^2 + 2\theta \cdot 0 \\&= (1 + \theta^2)\sigma^2\end{align}$
Step 3: ラグ1の自己共分散計算
ラグ1の自己共分散$\gamma(1)$を詳細に計算します：
$\begin{align}\gamma(1) &= \text{Cov}(X_t, X_{t-1}) \\&= \text{Cov}(\epsilon_t + \theta \epsilon_{t-1}, \epsilon_{t-1} + \theta \epsilon_{t-2}) \\&= \text{Cov}(\epsilon_t, \epsilon_{t-1}) + \text{Cov}(\epsilon_t, \theta \epsilon_{t-2}) \\&\quad + \text{Cov}(\theta \epsilon_{t-1}, \epsilon_{t-1}) + \text{Cov}(\theta \epsilon_{t-1}, \theta \epsilon_{t-2}) \\&= 0 + 0 + \theta \text{Var}(\epsilon_{t-1}) + 0 \\&= \theta \sigma^2\end{align}$
計算のポイント
上記の計算でのは、ホワイトノイズの性質により：
- $\text{Cov}(\epsilon_t, \epsilon_{t-1}) = 0$（異なる時点の誤差は無相関）
- $\text{Cov}(\epsilon_t, \epsilon_{t-2}) = 0$（同様に無相関）
- $\text{Cov}(\epsilon_{t-1}, \epsilon_{t-2}) = 0$（同様に無相関）
- $\text{Cov}(\epsilon_{t-1}, \epsilon_{t-1}) = \text{Var}(\epsilon_{t-1}) = \sigma^2$
高次ラグの自己共分散
Step 4: ラグ2以上の計算
ラグ$h \geq 2$の自己共分散を計算します：
$\begin{align}\gamma(2) &= \text{Cov}(X_t, X_{t-2}) \\&= \text{Cov}(\epsilon_t + \theta \epsilon_{t-1}, \epsilon_{t-2} + \theta \epsilon_{t-3}) \\&= \text{Cov}(\epsilon_t, \epsilon_{t-2}) + \text{Cov}(\epsilon_t, \theta \epsilon_{t-3}) \\&\quad + \text{Cov}(\theta \epsilon_{t-1}, \epsilon_{t-2}) + \text{Cov}(\theta \epsilon_{t-1}, \theta \epsilon_{t-3}) \\&= 0 + 0 + 0 + 0 = 0\end{align}$
一般に、$h \geq 2$に対して$\gamma(h) = 0$となります。
MA(1)モデルの完全な自己共分散関数
Step 5: 自己共分散関数のまとめ
$\gamma(h) = \begin{cases}(1 + \theta^2)\sigma^2 & \text{if } h = 0 \\\theta \sigma^2 & \text{if } h = 1 \\0 & \text{if } h \geq 2\end{cases}$
| ラグ$h$ | 自己共分散$\gamma(h)$ | 自己相関$\rho(h)$ |
|---|
| 0 | $(1 + \theta^2)\sigma^2$ | 1 |
| 1 | $\theta \sigma^2$ | $\frac{\theta}{1 + \theta^2}$ |
| $\geq 2$ | 0 | 0 |
一般化：MA(q)モデルの性質
Step 6: 高次MAモデルへ拡張
一般的なMA(q)モデル：
$X_t = \epsilon_t + \theta_1 \epsilon_{t-1} + \theta_2 \epsilon_{t-2} + \cdots + \theta_q \epsilon_{t-q}$
MA(q)モデルの性質：
MA(q)モデルの特徴
- 有限記憶：ラグ$q$以降で自己共分散が0
- 常に定常：パラメータの値に関係なく定常
- 可逆性：特性方程式の根が単位円外にあるとき可逆
- 一意性：可逆性により一意的な表現が可能