共分散の符号の意味を理解する問題です。
共分散の定義と意味
共分散は2つの変数XとYがどのように関連するかを表す指標で、以下の式で定義されます：
$\text{Cov}(X,Y) = E[(X - \mu_X)(Y - \mu_Y)] = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$
共分散の符号の解釈
正の共分散（Cov(X,Y) > 0）：
- Xが平均より大きいとき、Yも平均より大きくなる傾向
- Xが平均より小さいとき、Yも平均より小さくなる傾向
- つまり、XとYが同じ方向に変動する関係
負の共分散（Cov(X,Y) < 0）：
- Xが平均より大きいとき、Yは平均より小さくなる傾向
- Xが平均より小さいとき、Yは平均より大きくなる傾向
- つまり、XとYが逆方向に変動する関係
共分散が0に近い場合：
- XとYの間に明確な線形関係がない
- ただし、非線形関係は存在する可能性がある
共分散の性質
- 単位依存性： データの単位によって値が大きく変わる
- 相関係数との関係： $r = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$
- 対称性： $\text{Cov}(X,Y) = \text{Cov}(Y,X)$
- 線形変換： $\text{Cov}(aX+b, cY+d) = ac \cdot \text{Cov}(X,Y)$
共分散は相関の強さを表すが、単位に依存するため比較が困難。標準化した相関係数の方が解釈しやすい。
したがって、共分散が負のとき、Xが増えるとYは減る傾向があることを意味します。