変数の線形変換が相関係数に与える影響を理解する問題です。
相関係数の線形変換不変性
相関係数は、変数の線形変換に対して不変な性質を持ちます。これは相関係数が「標準化された関係性の強さ」を表す指標であるためです。
線形変換の一般的な形
変数Xを以下のように変換する場合を考えます：
$Z = aX + b$ （ここで $a \neq 0$）
このとき、ZとYの相関係数は：
$\text{Cor}(Z, Y) = \text{Cor}(aX + b, Y)$
数学的証明
相関係数の定義から：
$r_{ZY} = \frac{\text{Cov}(Z, Y)}{\sqrt{\text{Var}(Z) \cdot \text{Var}(Y)}}$
共分散の計算：
$\text{Cov}(Z, Y) = \text{Cov}(aX + b, Y) = a \cdot \text{Cov}(X, Y)$
分散の計算：
$\text{Var}(Z) = \text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$
相関係数：
$r_{ZY} = \frac{a \cdot \text{Cov}(X, Y)}{\sqrt{a^2 \cdot \text{Var}(X) \cdot \text{Var}(Y)}} = \frac{a \cdot \text{Cov}(X, Y)}{|a| \cdot \sqrt{\text{Var}(X) \cdot \text{Var}(Y)}}$
$a > 0$の場合：
$r_{ZY} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sqrt{\text{Var}(X) \cdot \text{Var}(Y)}} = r_{XY}$
今回の計算
与えられた情報：
- $r_{XY} = 0.6$
- $Z = 2X + 10$ （$a = 2 > 0$, $b = 10$）
$a = 2 > 0$なので：
$r_{ZY} = r_{XY} = 0.6$
性質
- 正の線形変換：$a > 0$の場合、相関係数は不変
- 負の線形変換：$a < 0$の場合、相関係数の符号が反転
- 定数項の影響：$b$は相関係数に影響しない
- 単位変換：cm→m、℃→°Fなどの変換で相関は不変
この性質により、相関係数は測定単位に依存しない標準化された指標として有用です。データの前処理（標準化、正規化）においても相関関係は保持されます。
したがって、ZとYの相関係数は0.60です。