単回帰分析における決定係数と相関係数の関係を理解する問題です。
単回帰における決定係数
単回帰分析では、決定係数R²と相関係数rの間に関係があります。
決定係数と相関係数の関係
単回帰モデル $y = a + bx + \varepsilon$ において：
$R^2 = r^2$
ここで、rはxとyの（ピアソンの）相関係数です。
数学的背景
決定係数の定義：
$R^2 = \frac{SSR}{SST} = \frac{\sum(\hat{y}_i - \bar{y})^2}{\sum(y_i - \bar{y})^2}$
単回帰では、この式が相関係数の二乗と等しくなることが証明できます。
今回の計算
与えられた情報：
決定係数の計算：
$R^2 = r^2 = (0.8)^2 = 0.64 = 0.640$
結果の解釈
決定係数が0.640ということは：
- yの変動の64.0%が回帰直線によって説明される
- 残り36.0%は残差（誤差）による変動
- 回帰モデルは比較的良い当てはまりを示している
相関係数と決定係数の比較
| 相関係数 |r| | 決定係数 R² | 説明される変動 | 評価 |
|---|
| 0.5 | 0.25 | 25% | 弱い関係 |
| 0.7 | 0.49 | 49% | 中程度の関係 |
| 0.8 | 0.64 | 64% | 強い関係 |
| 0.9 | 0.81 | 81% | 非常に強い関係 |
相関係数が高くても、決定係数で見ると説明される変動の割合は意外に低いことがあります。例えば、r=0.7でもR²=0.49なので、約半分の変動しか説明されていません。
したがって、決定係数R²は0.640です。