偏相関係数の計算について学習する問題です。
偏相関係数とは
偏相関係数（partial correlation coefficient）は、第3の変数の影響を除去した2変数間の相関を表す指標です。
偏相関係数の計算式
3変数X、Y、Zの偏相関係数：
$r_{XY.Z} = \frac{r_{XY} - r_{XZ} \cdot r_{YZ}}{\sqrt{(1 - r_{XZ}^2)(1 - r_{YZ}^2)}}$
この式は、ZをコントロールしたときのXとYの相関を表します。
与えられた値での計算
与えられた相関係数：
- r_XY = 0.7
- r_XZ = 0.5
- r_YZ = 0.4
計算過程：
$r_{XY.Z} = \frac{0.7 - 0.5 \times 0.4}{\sqrt{(1 - 0.5^2)(1 - 0.4^2)}}$
$= \frac{0.7 - 0.2}{\sqrt{(1 - 0.25)(1 - 0.16)}}$
$= \frac{0.5}{\sqrt{0.75 \times 0.84}}$
$= \frac{0.5}{\sqrt{0.63}}$
$= \frac{0.5}{0.7937} = 0.577$
偏相関係数の理解と応用
偏相関の意味：
- コントロール変数： Zの影響を統計的に除去
- 純粋な関係： XとYの直接的関係を測定
- 交絡の除去： 第3変数による見かけの相関を排除
実際の応用例：
- 教育研究： 知能をコントロールした学習時間と成績の関係
- 医学研究： 年齢をコントロールした運動と健康の関係
- 経済学： 所得をコントロールした教育と消費の関係
解釈のポイント：
- 偏相関が元の相関より小さい場合：第3変数が交絡要因
- 偏相関が元の相関より大きい場合：第3変数が抑制要因
- 偏相関が0に近い場合：関係は第3変数によるもの
偏相関係数は多重回帰分析の基礎となる概念で、変数間の複雑な関係を理解するのに不可欠です。
したがって、ZをコントロールしたXとYの偏相関係数は0.577です。