加重平均による正確な総合評価
加重平均は、異なるサイズのグループから全体の平均を正確に算出するための基本的な統計手法です。ビジネスアナリティクス、学術研究、品質管理などで幅広く活用されています。
問題設定の詳細分析
- 平日グループ：平均満足度 4.1、人数 80人
- 休日グループ：平均満足度 4.5、人数 20人
- 問題点：グループサイズが異なる（4:1の比率）
- 求める値：全体の平均満足度
Step 1: 加重平均の公式
n個のグループがある場合の加重平均：
$\bar{x}_{\text{weighted}} = \frac{\sum_{i=1}^n w_i \cdot \bar{x}_i}{\sum_{i=1}^n w_i}$
ここで：
- $w_i$：各グループの重み（人数）
- $\bar{x}_i$：各グループの平均値
Step 2: 数値の代入と計算
$\bar{x} = \frac{4.1 \times 80 + 4.5 \times 20}{80 + 20}$
$= \frac{328 + 90}{100} = \frac{418}{100} = 4.18$
結果：4.18（小数第2位まで）
単純平均との比較（重要）
もし単純平均を使った場合（間違い）：
$\frac{4.1 + 4.5}{2} = \frac{8.6}{2} = 4.30$
これは実際の加重平均（4.18）より0.12高く、過大評価になります。
| 計算方法 | 結果 | 正確性 | 差異 |
|---|
| 加重平均 | 4.18 | 正確 | - |
| 単純平均 | 4.30 | 不正確 | +0.12 |
Step 3: なぜ加重平均が必要か
平日のお客様（80人）が休日のお客様（20人）よ4倍いるため、平日の満足度（4.1）が全体に与える影響が大きくなります。
- 平日の影響度：$\frac{80}{100} = 80\%$
- 休日の影響度：$\frac{20}{100} = 20\%$
$4.18 = 4.1 \times 0.8 + 4.5 \times 0.2 = 3.28 + 0.90 = 4.18$
Step 4: 加重平均の一般化
3つ以上のグループがある場合の例：
$\bar{x} = \frac{w_1\bar{x}_1 + w_2\bar{x}_2 + w_3\bar{x}_3 + ...}{w_1 + w_2 + w_3 + ...}$
例：朝（50人、4.0点）、昼（60人、4.2点）、夕（30人、4.4点）の場合：
$\bar{x} = \frac{50 \times 4.0 + 60 \times 4.2 + 30 \times 4.4}{50 + 60 + 30} = \frac{200 + 252 + 132}{140} = \frac{584}{140} = 4.17$