超幾何分布による品質管理統計
この問題は製造業の品質管理で頻繁に現れる超幾何分布の典型例です。復元なしの抽出では、各回の抽出が独立でないため、二項分布ではなく超幾何分布を用いる必要があります。
問題設定の分析
- 母集団：20台の製品（有限母集団）
- 不具合品：3台（成功事象）
- 正常品：17台（失敗事象）
- 抽出方法：復元なし（非復元抽出）
- 標本サイズ：5台
- 目標：ちょうど1台が不具合品である確率
Step 1: 超幾何分布の確率質量関数
超幾何分布の一般形：
$P(X = k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$
ここで：
- $N$：母集団サイズ
- $K$：母集団中の成功要素数
- $n$：抽出サイズ
- $k$：標本中の成功数
Step 2: パラメータの設定
- $N = 20$（総台数）
- $K = 3$（不具合台数）
- $n = 5$（検査台数）
- $k = 1$（不具合台数の目標値）
Step 3: 組み合わせの計算
分子の計算：
$\binom{3}{1} = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3!}{1! \cdot 2!} = 3$
$\binom{17}{4} = \frac{17!}{4!(17-4)!} = \frac{17 \times 16 \times 15 \times 14}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{57120}{24} = 2380$
分母の計算：
$\binom{20}{5} = \frac{20!}{5!(20-5)!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{1860480}{120} = 15504$
Step 4: 確率の計算
$P(X = 1) = \frac{3 \times 2380}{15504} = \frac{7140}{15504} ≈ 0.4606$
小数第2位まで：0.46
結果の実用的解釈
確率0.46（46%）は比較的高い値で、以下を意味します：
- 品質管理：5台検査すれば、約46%の確率で不具合が1台だけ見つかる
- 検査効率：不具合を完全に見逃す確率は低い
- 統計的推論：この結果は母集団の品質レベルを示唆
Step 5: 二項分布との比較
もし復元ありの抽出（独立試行）だった場合：
$p = \frac{3}{20} = 0.15$
$P_{\text{二項}}(X=1) = \binom{5}{1}(0.15)^1(0.85)^4 = 5 \times 0.15 \times (0.85)^4$
$= 5 \times 0.15 \times 0.522 ≈ 0.392$
超幾何分布（0.46）の方が二項分布（0.39）よりもやや大きくなります。
超幾何分布の特徴と応用
| 項目 | 超幾何分布 | 二項分布 |
|---|
| 抽出方法 | 復元なし | 復元あり |
| 試行の独立性 | 独立でない | 独立 |
| 母集団 | 有限 | 無限（または非常に大） |
| 確率の変化 | 各試行で変化 | 一定 |
| 応用例 | 品質検査、抽選 | 製造工程、試験 |
品質管理での実用的な考察
Step 6: 検査戦略の評価
- 全数検査：20台すべてを検査（確実だが高コスト）
- 抜き取り検査：5台検査（効率的だがリスクあり）
- 統計的品質管理：この確率に基づいて判定基準を設定
期待値と分散
超幾何分布の期待値と分散：
$E[X] = n \times \frac{K}{N} = 5 \times \frac{3}{20} = 0.75$
$Var(X) = n \times \frac{K}{N} \times \left(1 - \frac{K}{N}\right) \times \frac{N-n}{N-1}$
$= 5 \times 0.15 \times 0.85 \times \frac{15}{19} ≈ 0.50$
標準偏差：$\sqrt{0.50} ≈ 0.71$
近似条件の考察
超幾何分布が二項分布で近似できる条件：
- 一般的条件：$n \ll N$（標本サイズが母集団より十分小さい）
- 本問の場合：$n/N = 5/20 = 0.25$（25%）
- 判定：25%は大きいため、近似は適切でない
- 結論：超幾何分布を使用するのが正確