ベイズの定理による事後確率推論
この問題はベイズの定理の典型的な応用例で、観測された証拠（表が出た）に基づいて、原因（どちらのコインか）の確率を更新する推論過程を学習できます。
問題設定の詳細分析
- コインA：両面が表（異常なコイン）
- コインB：通常の公正なコイン（表/裏が1/2ずつ）
- 選択方法：2枚から1枚をランダムに選択
- 観測結果：選んだコインで表が出た
- 求める値：観測結果に基づく事後確率
Step 1: 事前確率の設定
選択前の各コインの確率：
$P(\text{両面表}) = P(\text{公正}) = \frac{1}{2}$
Step 2: 尤度の計算
各コインが選ばれた場合に表が出る確率：
- 両面表コインの場合：$P(\text{表}|\text{両面表}) = 1$（確実に表）
- 公正コインの場合：$P(\text{表}|\text{公正}) = \frac{1}{2}$（50%の確率）
Step 3: 全確率の法則による周辺確率
$P(\text{表}) = P(\text{表}|\text{両面表}) \times P(\text{両面表}) + P(\text{表}|\text{公正}) \times P(\text{公正})$
$= 1 \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
Step 4: ベイズの定理の適用
$P(\text{両面表}|\text{表}) = \frac{P(\text{表}|\text{両面表}) \times P(\text{両面表})}{P(\text{表})}$
$= \frac{1 \times \frac{1}{2}}{\frac{3}{4}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{2}{3} ≈ 0.667$
小数第2位まで：0.67
結果の直感的理解
確率2/3（約67%）の意味：
- 事前の状況：どちらのコインかわからない（50%ずつ）
- 証拠の価値：表が出たことで両面表コインの可能性が高まる
- 確率の更新：50% → 67%に増加
- 残りの不確実性：33%の確率で公正コインの可能性