確率の基礎

確率の基本的な考え方、場合の数、確率の計算、条件付き確率、事象の独立性に関する問題

ベイズの定理（検査の陽性的中率）レベル2

ある病気の有病率は1%。検査の感度90%、特異度95%とする。検査が陽性のとき、その人が病気である確率を小数第2位まで求めよ。

解説

解答と解説を表示

この問題は医療診断の現場で頻繁に遭遇する基準率の落とし穴と呼ばれる現象の典型例です。直感に反して、検査の精度が高くても、有病率が低いと陽性的中率は低くなります。

問題設定の詳細分析

Step 1: 全確率の法則で陽性確率を計算

$P(+) = P(+|D) \times P(D) + P(+|¬D) \times P(¬D)$

$= 0.9 \times 0.01 + 0.05 \times 0.99 = 0.009 + 0.0495 = 0.0585$

Step 2: ベイズの定理で陽性的中率を計算

$P(D|+) = \frac{P(+|D) \times P(D)}{P(+)} = \frac{0.9 \times 0.01}{0.0585} = \frac{0.009}{0.0585} ≈ 0.154$

小数第2位まで：0.15

90%の感度と95%の特異度を持つ優秀な検査であっても、陽性的中率はたった15.4%です。つまり、陽性と判定された100人のうち、実際に病気なのは約15人だけで、残り85人は偽陽性です。

Step 3: 10,000人の母集団で考える

$陽性的中率 = \frac{90}{585} = \frac{90}{90+495} ≈ 15.4\%$

同じ検査でも有病率によって陽性的中率は大きく変わります：

Step 4: 診断精度の包括的評価

本問での陰性的中率：

$P(¬D|-) = \frac{9405}{9415} ≈ 99.9\%$

陰性的中率は非常に高く、陰性なら病気でない可能性が高いことがわかります。

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