二項分布の確率質量関数による具体的計算
二項分布 $X \sim Bin(n,p)$ の確率質量関数（PMF）は、組み合わせと確率の積の原理に基づいています。
確率質量関数の数学的定義
$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$
ここで：
- $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ ：$n$回中$k$回成功するパターン数
- $p^k$ ：$k$回連続で成功する確率
- $(1-p)^{n-k}$ ：$(n-k)$回連続で失敗する確率
今回の計算過程
パラメータ：$n=5, p=0.3, k=2$
$P(X=2) = \binom{5}{2} \cdot (0.3)^2 \cdot (0.7)^3$
ステップ別計算：
| 要素 | 計算 | 結果 | 意味 |
|---|
| $\binom{5}{2}$ | $\frac{5!}{2!3!} = \frac{120}{2 \times 6}$ | 10 | 5回中2回成功の組み合わせ |
| $(0.3)^2$ | $0.3 \times 0.3$ | 0.09 | 2回連続成功の確率 |
| $(0.7)^3$ | $0.7^3$ | 0.343 | 3回連続失敗の確率 |
最終計算：
$P(X=2) = 10 \times 0.09 \times 0.343 = 0.3087 \approx 0.31$
結果の解釈
5回の試行でちょうど2回成功する確率は約31%です。これは最も起こりやすいケースの一つです。
実験での確認方法
- コイン投げ：不公平コイン（表30%）を5回投げて2回表
- 品質管理：不良率30%の製品を5個検査して2個不良
- アンケート：賛成率30%の質問を5人に聞いて2人賛成
理論的検証：$\sum_{k=0}^5 P(X=k) = 1$ が成り立つことを二項定理 $(p + (1-p))^n = 1$ で確認できます。