幾何分布と「初回成功までの期待試行回数」
幾何分布 $X \sim Geom(p)$ は、初めて成功するまでの試行回数をモデル化した確率分布です。APIリトライ、ネットワーク接続、プログラムのデバッグなど、現実の「再試行型タスク」で頻繁に出現します。
幾何分布の定義
$X$ を初回成功までの試行回数とすると：
$P(X = k) = (1-p)^{k-1} p$ for $k = 1, 2, 3, \ldots$
ここで $p$ は各試行の成功確率です。
期待値の導出（無限級数）
$E[X] = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot (1-p)^{k-1} p$
この無限級数は、幾何級数の微分技法で解けます：
$\sum_{k=1}^{\infty} k x^{k-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$ for $|x| < 1$
$x = 1-p$ と置いて：
$E[X] = p \cdot \frac{1}{(1-(1-p))^2} = p \cdot \frac{1}{p^2} = \frac{1}{p}$
直感的理解（再帰的アプローチ）
「期待試行回数」を $E$ とすると：
- 1回目で成功：確率 $p$、試行回数 1
- 1回目で失敗：確率 $1-p$、さらに $E$ 回必要
再帰式：
$E = p \cdot 1 + (1-p) \cdot (1 + E)$
解くと：$E = 1/p$
今回の計算
パラメータ：$p = 0.2$
$E[X] = \frac{1}{p} = \frac{1}{0.2} = 5.00$
結果の解釈
APIリクエストの成功確率が20%の場合、初回成功までに平均で5回の試行が必要です。
| 成功確率 p | 期待試行回数 | シナリオ例 |
|---|
| 0.1 (10%) | 10回 | 難しいタスク |
| 0.2 (20%) | 5回 | 今回の例 |
| 0.5 (50%) | 2回 | コイン投げ |
無記憶性：幾何分布は「過去の失敗が未来の成功確率に影響しない」という性質を持ちます。