正規分布の経験則（68-95-99.7ルール）
正規分布の経験則（Empirical Ruleまたは3-Sigma Rule）は、正規分布におけるデータの集中度を理解するための基本的なルールです。
3つの範囲
| 範囲 | 含まれるデータの割合 | 精密値 | 実用的意味 |
|---|
| $\mu \pm 1\sigma$ | 約68% | 68.27% | 「平均的な範囲」の目安 |
| $\mu \pm 2\sigma$ | 約95% | 95.45% | 「異常値」の判定の目安の一つ |
| $\mu \pm 3\sigma$ | 約99.7% | 99.73% | 「極端な外れ値」の目安 |
結果の解釈
正規分布において、平均から±2標準偏差の範囲には、データの約95%が含まれます。なお、±2σの範囲に含まれるのは約95.45%で、中央の95%に対応する境界は約±1.96σです。信頼区間などで使う値は、母分散が未知でt分布を使う場合など、使う分布によって変わります。
数学的背景
これらの数値は、標準正規分布の累積分布関数 $\Phi(z)$ から導出されます：
$P(-1 < Z < 1) = \Phi(1) - \Phi(-1) = 0.84134 - 0.15866 = 0.68268 \approx 0.6827$
$P(-2 < Z < 2) = \Phi(2) - \Phi(-2) = 0.97725 - 0.02275 = 0.95450 \approx 0.9545$
$P(-3 < Z < 3) = \Phi(3) - \Phi(-3) = 0.99865 - 0.00135 = 0.99730 \approx 0.9973$
注意：経験則は正規分布にのみ適用され、他の分布（歪んだ分布や二峰性分布）では成り立ちません。