補集合の原理を用いた二項分布の累積確率計算
「少なくとも1回成功」する確率は、補集合の原理を使うことで効率的に計算できます。この手法は、品質管理、システム信頼性、マーケティング分析など様々な分野で頻繁に使われるテクニックです。
補集合の原理
「少なくとも1回成功」の補集合は「0回成功（全て失敗）」です：
$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$
このアプローチの利点：
- $P(X=0)$ は1個の項だけ計算すればよい
- $P(X \geq 1) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$ は4個の項が必要
今回の計算
パラメータ：$X \sim Bin(4, 0.3)$
ステップ 1: $P(X=0)$ の計算
$P(X=0) = \binom{4}{0} (0.3)^0 (1-0.3)^{4-0} = 1 \times 1 \times (0.7)^4$
$(0.7)^4 = 0.7 \times 0.7 \times 0.7 \times 0.7 = 0.2401$
ステップ 2: 補集合で $P(X \geq 1)$ を求める
$P(X \geq 1) = 1 - P(X=0) = 1 - 0.2401 = 0.7599 \approx 0.76$
結果の解釈
4回の試行で少なくとも1回成功する確率は約76%です。つまり、全て失敗する確率（24%）の方が低いということです。
一般的な公式
二項分布 $X \sim Bin(n,p)$ において：
$P(X \geq 1) = 1 - P(X=0) = 1 - (1-p)^n$
| n | p | P(X=0) | P(X≥1) | シナリオ |
|---|
| 4 | 0.3 | 24.0% | 76.0% | 今回の例 |
| 4 | 0.5 | 6.3% | 93.8% | コイン投げ |
| 10 | 0.1 | 34.9% | 65.1% | 稀な事象 |
理論的検証：$P(X=0) + P(X \geq 1) = 1$ が成り立つことを確認できます（0.2401 + 0.7599 = 1.0000）。