二項分布の累積分布関数（CDF）の計算
累積分布関数 $F(x) = P(X \leq x)$ は、特定の値以下の確率を表します。二項分布の場合、各項の確率質量関数を積算して求めます。
累積分布関数の定義
$F(k) = P(X \leq k) = \sum_{i=0}^k P(X = i) = \sum_{i=0}^k \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}$
今回の計算：$P(X \leq 2)$
パラメータ：$X \sim Bin(5, 0.4)$
$P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$
項別計算：
| k | 組み合わせ | p^k | (1-p)^(n-k) | P(X=k) |
|---|
| 0 | $\binom{5}{0} = 1$ | $(0.4)^0 = 1$ | $(0.6)^5 = 0.07776$ | 0.07776 |
| 1 | $\binom{5}{1} = 5$ | $(0.4)^1 = 0.4$ | $(0.6)^4 = 0.1296$ | 0.2592 |
| 2 | $\binom{5}{2} = 10$ | $(0.4)^2 = 0.16$ | $(0.6)^3 = 0.216$ | 0.3456 |
最終計算：
$P(X \leq 2) = 0.07776 + 0.2592 + 0.3456 = 0.68256 \approx 0.68$
結果の解釈
5回の試行で、2回以下しか成功しない確率は約68%です。逆に、成功が3回以上の確率は32%です。
補集合による検証
答えを補集合で検証してみましょう：
$P(X \leq 2) = 1 - P(X \geq 3) = 1 - [P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)]$
| k | P(X=k) | 計算 |
|---|
| 3 | 0.2304 | $\binom{5}{3} \times 0.4^3 \times 0.6^2$ |
| 4 | 0.0768 | $\binom{5}{4} \times 0.4^4 \times 0.6^1$ |
| 5 | 0.01024 | $\binom{5}{5} \times 0.4^5 \times 0.6^0$ |
$P(X \geq 3) = 0.2304 + 0.0768 + 0.01024 = 0.31744$
$P(X \leq 2) = 1 - 0.31744 = 0.68256$
累積分布関数の性質
- 単調非減少：$F(k) \leq F(k+1)$
- 範囲：$0 \leq F(k) \leq 1$
- 境界値：$F(-\infty) = 0, F(+\infty) = 1$