標本と母集団の概念、標本平均・標本分散の性質、信頼区間の基礎、母平均の推定に関する問題
母平均50、母標準偏差10の正規分布に従う母集団から、サイズ25の標本を抽出する。標本平均の分布について正しいものはどれか。
標本平均の分布に関する性質を理解する問題です。
母集団が正規分布N(μ, σ²)に従うとき、サイズnの標本平均$\bar{X}$の分布は：
$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$
すなわち、平均μ、分散σ²/nの正規分布に従います。
計算手順
与えられた条件：
標本平均の分布：
平均： $E[\bar{X}] = \mu = 50$
分散： $\text{Var}(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n} = \frac{10^2}{25} = \frac{100}{25} = 4$
標準偏差： $\text{SD}(\bar{X}) = \sqrt{4} = 2$
標本平均の標準偏差を標準誤差（standard error）と呼びます。標準誤差はσ/√nで表され、標本サイズの平方根に反比例します。
したがって、標本平均は平均50、標準偏差2の正規分布に従います。