標本平均の分布に関する性質を理解する問題です。
標本平均の分布
母集団が正規分布N(μ, σ²)に従うとき、サイズnの標本平均\bar{X}の分布は：
$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$
すなわち、平均μ、分散σ²/nの正規分布に従います。
計算手順
与えられた条件：
- 母平均：μ = 50
- 母標準偏差：σ = 10
- 標本サイズ：n = 25
標本平均の分布：
平均： $E[\bar{X}] = \mu = 50$
分散： $\text{Var}(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n} = \frac{10^2}{25} = \frac{100}{25} = 4$
標準偏差： $\text{SD}(\bar{X}) = \sqrt{4} = 2$
標本平均の性質
- 不偏性： $E[\bar{X}] = \mu$（標本平均の期待値は母平均に等しい）
- 効率性： 標本サイズが大きいほど分散が小さくなる
- 一致性： n→∞のとき、標本平均は母平均に収束
- 正規性： 母集団が正規分布なら標本平均も正規分布
標本平均の標準偏差を標準誤差（standard error）と呼びます。標準誤差はσ/√nで表され、標本サイズの平方根に反比例します。
したがって、標本平均は平均50、標準偏差2の正規分布に従います。