<p>標本平均の分布に関する重要な性質を理解する問題です。</p><h4>標本平均の分布</h4><p>母集団が正規分布N(μ, σ²)に従うとき、サイズnの標本平均\bar{X}の分布は：</p><p class='formula'>$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)
lt;/p><p>すなわち、平均μ、分散σ²/nの正規分布に従います。</p><p class='step'>計算手順</p><p><strong>与えられた条件：</strong></p><ul><li>母平均：μ = 50</li><li>母標準偏差：σ = 10</li><li>標本サイズ：n = 25</li></ul><p><strong>標本平均の分布：</strong></p><p><strong>平均：</strong> $E[\bar{X}] = \mu = 50
lt;/p><p><strong>分散：</strong> $\text{Var}(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n} = \frac{10^2}{25} = \frac{100}{25} = 4
lt;/p><p><strong>標準偏差：</strong> $\text{SD}(\bar{X}) = \sqrt{4} = 2
lt;/p><div class='key-point'><div class='key-point-title'>標本平均の重要な性質</div><ul><li><strong>不偏性：</strong> $E[\bar{X}] = \mu$（標本平均の期待値は母平均に等しい）</li><li><strong>効率性：</strong> 標本サイズが大きいほど分散が小さくなる</li><li><strong>一致性：</strong> n→∞のとき、標本平均は母平均に収束</li><li><strong>正規性：</strong> 母集団が正規分布なら標本平均も正規分布</li></ul></div><p class='note'>標本平均の標準偏差を標準誤差（standard error）と呼びます。標準誤差はσ/√nで表され、標本サイズの平方根に反比例します。</p><p>したがって、標本平均は<strong>平均50、標準偏差2の正規分布</strong>に従います。</p>