標本サイズの決定は、統計的推定の精度を事前に設計するプロセスです。
必要標本サイズの基本概念
統計的推定における標本サイズは、推定精度（許容誤差）と信頼水準のバランスで決まります。
母平均の信頼区間と許容誤差
95%信頼区間の半幅（許容誤差E）：
$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
ここで：
- E： 許容誤差（confidence interval half-width）
- z_{α/2}： 信頼水準に対応する標準正規分布の上側α/2点
- σ： 母標準偏差
- n： 標本サイズ
標本サイズ決定の公式
Eに関してnを解く：
$n = \left(\frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E}\right)^2$
与えられた値での計算
条件：
- 母標準偏差 σ = 12
- 許容誤差 E = 3
- 95%信頼水準：z_{0.025} = 1.96
計算過程：
$n = \left(\frac{1.96 \times 12}{3}\right)^2$
$= \left(\frac{23.52}{3}\right)^2$
$= (7.84)^2$
$= 61.4656$
整数への切り上げ：
標本サイズは整数でなければならず、必要な精度を保証するため切り上げます：
$n = \lceil 61.4656 \rceil = 62$
標本サイズ設計の実務的考慮
理論的要件：
- 正規性の仮定： 母集団正規または大標本による正規近似
- σ既知： 実務では過去データや予備調査から推定
- 独立性： 標本が互いに独立して抽出される
実務的調整：
- 無回答率： 10-20%程度を見込んで標本サイズを増加
- 層化抽出： 各層で十分な標本数を確保
- 予算制約： コストとのバランスで最適化
- 統計的検出力： 仮説検定も行う場合は検出力分析も必要
信頼水準別の係数：
- 90%信頼水準：z = 1.645
- 95%信頼水準：z = 1.96
- 99%信頼水準：z = 2.576
σが未知の場合はt分布を用いますが、大標本では正規分布で近似可能です。予備調査や過去データからσを推定する際は、やや大きめに見積もると安全です。
したがって、必要な最小標本サイズは62です。