解答と解説を表示
<p>t分布を用いた確率計算の問題です。</p><p class='step'>1. t分布の定義</p><p>t分布（スチューデントのt分布）は、標本サイズが小さい場合に、正規母集団からの標本平均の分布を表すために用いられる確率分布です。t分布は自由度 $\nu$ によってパラメータ化され、$\nu$ が大きくなるにつれて標準正規分布に近づきます。</p><p>t分布の確率密度関数は複雑ですが、t分布表や統計ソフトウェアを用いて確率を求めることができます。</p><p class='step'>2. 問題の設定</p><p>この問題では：</p><ul><li>$T$：自由度 $\nu = 10$ のt分布に従う確率変数</li><li>求めるのは $P(T > 1.81)$：$T$ が1.81より大きくなる確率</li></ul><p class='step'>3. 確率の計算</p>
<p>t分布表を用いて、自由度 $\nu = 10$ のt分布において、$t > 1.81$ となる確率を求めます。</p><p>t分布表には通常、上側確率（右側の面積）に対応するt値が記載されています。この問題では逆に、t値から上側確率を求める必要があります。</p><p>自由度 $\nu = 10$ のt分布表を参照すると：</p><ul><li>$t_{0.05, 10} \approx 1.81$：上側確率が0.05となるt値は約1.81</li></ul><p>したがって：</p><p class='formula'>\begin{align}P(T > 1.81) &\approx 0.05\end{align}</p></p><p class='note'>t分布は、母分散が未知の場合に、小標本からの推測に用いられます。具体的には：</p><ul><li>母平均の区間推定</li><li>母平均に関する仮説検定（t検定）</li><li>回帰係数の区間推定と検定</li></ul><p>t分布の主な特徴：</p><ul><li>対称分布であり、平均は0</li><li>標準正規分布よりも裾が重い（特に自由度が小さい場合）</li><li>自由度 $\nu$ が大きくなるにつれて標準正規分布に近づく</li><li>自由度 $\nu = \infty$ のt分布は標準正規分布と一致</li></ul>