信頼性工学などで頻用されるワイブル分布の形状パラメータが、故障率（ハザード関数）にどのような影響を与えるかを問う問題です。
ワイブル分布の形状パラメータと故障率のパターン
ワイブル分布の形状パラメータmは、対象とする製品やシステムの故障が時間とともにどのように変化するか（故障率のパターン）を表現します。
- m < 1：初期故障型（DFR: Decreasing Failure Rate）。使用開始直後に故障が多く、時間とともに故障率が低下する。
- m = 1：偶発故障型（CFR: Constant Failure Rate）。故障率が時間によらず一定。これは指数分布と等価です。
- m > 1：摩耗故障型（IFR: Increasing Failure Rate）。時間とともに故障率が増加する。特にm=2の場合はレイリー分布と呼ばれます。
1. ワイブル分布とは
ワイブル分布は、連続型の確率分布で、主に製品の寿命分布や故障時間の解析に用いられます。確率密度関数は、形状パラメータ $m > 0$ と尺度パラメータ $\eta > 0$ を用いて以下のように表されます（$t \geq 0$）。
$f(t; m, \eta) = \frac{m}{\eta} \left(\frac{t}{\eta}\right)^{m-1} e^{-(t/\eta)^m}$
故障率関数（ハザード関数）$h(t)$ は、$h(t) = \frac{f(t)}{S(t)}$（ここでS(t)は生存関数）で与えられ、ワイブル分布の場合、
$h(t) = \frac{m}{\eta} \left(\frac{t}{\eta}\right)^{m-1}$
となります。
2. 形状パラメータmと故障率の関係
故障率関数 $h(t)$ の形から、形状パラメータmの値によって故障率の時間的変化のパターンが変わることがわかります。
- m < 1 の場合：例えば $m=0.5$ ならば、$h(t) \propto t^{-0.5}$ となり、tが増加すると$h(t)$は減少します。これは初期故障型（例：製造上の欠陥による初期の故障が多い）に対応します。
- m = 1 の場合：$h(t) = 1/\eta$（一定）となります。これは故障率が時間によらず一定である偶発故障型に対応し、指数分布（パラメータ $\lambda = 1/\eta$）と一致します。
- m > 1 の場合：例えば $m=2$ ならば、$h(t) \propto t$ となり、tが増加すると$h(t)$は増加します。これは摩耗故障型（例：経年劣化による故障が増える）に対応します。
3. 各選択肢の検討
- 「m < 1 のとき、故障率は時間とともに増加する（摩耗故障型）。」：誤り。m < 1 では故障率は時間とともに減少します（初期故障型）。
- 「m = 1 のとき、故障率は時間によらず一定である（偶発故障型）。これは指数分布に相当する。」：正しい。
- 「m > 1 のとき、故障率は時間とともに減少する（初期故障型）。」：誤り。m > 1 では故障率は時間とともに増加します（摩耗故障型）。
- 「mの値に関わらず、ワイブル分布の平均故障率は常に一定である。」：誤り。平均故障率というより、瞬間的な故障率が時間変化し、そのパターンがmに依存します。
- 「mが整数でない場合、ワイブル分布は定義できない。」：誤り。形状パラメータmは正の実数であれば定義可能です。
バスタブ曲線との関連
実際の製品の故障率は、初期故障期（DFR）、偶発故障期（CFR）、摩耗故障期（IFR）の3つの期間を組み合わせたバスタブ曲線で表現されることがあります。ワイブル分布は、形状パラメータmを変化させることでこれらの各期間の故障パターンを柔軟に表現できるため、信頼性解析に広く用いられます。