<p>母比率の信頼区間を求める問題です。</p><p class='step'>1. 問題の整理</p><p>与えられた情報：</p><ul><li>標本サイズ: $n = 400
lt;/li><li>不良品の数: $X = 36
lt;/li><li>標本比率: $\hat{p} = X/n = 36/400 = 0.09
lt;/li><li>求める信頼水準: 95%</li></ul><p class='step'>2. 適切な分布の選択</p><p>標本サイズが十分に大きく、$n\hat{p} \geq 5$ かつ $n(1-\hat{p}) \geq 5$ の条件を満たす場合、母比率の信頼区間は正規近似を用いて構成できます。</p><p>この問題では、$n\hat{p} = 400 \times 0.09 = 36 \geq 5$ かつ $n(1-\hat{p}) = 400 \times 0.91 = 364 \geq 5$ なので、正規近似が適用できます。</p><p class='step'>3. 信頼区間の公式</p><p>母比率 $p$ の $(1-\alpha)\times 100\%$ 信頼区間は次の式で与えられます：</p><p class='formula'>$\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}
lt;/p><p>ここで、$z_{\alpha/2}$ は標準正規分布の上側 $\alpha/2$ 点です。</p><p class='step'>4. 計算</p><p>95%信頼区間の場合、$\alpha = 0.05$ なので、$\alpha/2 = 0.025$ となります。</p><p>$z_{0.025} = 1.96$ （標準正規分布表から）</p><p>標準誤差は：</p><p class='formula'>$\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.09 \times 0.91}{400}} = \sqrt{\frac{0.0819}{400}} = \sqrt{0.0002048} \approx 0.0143
lt;/p><p>したがって、95%信頼区間は：</p><p class='formula'>$0.09 \pm 1.96 \times 0.0143 = 0.09 \pm 0.028 = [0.062, 0.118]
lt;/p><p class='note'>連続性補正を適用する場合：母比率の信頼区間をより正確に計算するために、連続性補正（$\pm 0.5/n$）を適用することもあります。しかし、標本サイズが大きい場合（$n \geq 100$）、その影響は小さくなります。</p><p>また、母比率の信頼区間の別の方法として、ウィルソンのスコア区間やクロッパー・ピアソン（正確な）区間などもあります。これらは特に標本比率が0や1に近い場合や、標本サイズが小さい場合に有用です。</p><p>したがって、母比率 $p$ の95%信頼区間の下限は 0.062（小数第3位まで）です。</p>