母比率の信頼区間を求める問題です。
1. 問題の整理
与えられた情報：
- 標本サイズ: $n = 400$
- 不良品の数: $X = 36$
- 標本比率: $\hat{p} = X/n = 36/400 = 0.09$
- 求める信頼水準: 95%
2. 適切な分布の選択
標本サイズが十分に大きく、$n\hat{p} \geq 5$ かつ $n(1-\hat{p}) \geq 5$ の条件を満たす場合、母比率の信頼区間は正規近似を用いて構成できます。
この問題では、$n\hat{p} = 400 \times 0.09 = 36 \geq 5$ かつ $n(1-\hat{p}) = 400 \times 0.91 = 364 \geq 5$ なので、正規近似が適用できます。
3. 信頼区間の公式
母比率 $p$ の $(1-\alpha)\times 100\%$ 信頼区間は次の式で与えられます：
$\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$
ここで、$z_{\alpha/2}$ は標準正規分布の上側 $\alpha/2$ 点です。
4. 計算
95%信頼区間の場合、$\alpha = 0.05$ なので、$\alpha/2 = 0.025$ となります。
$z_{0.025} = 1.96$ （標準正規分布表から）
標準誤差は：
$\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.09 \times 0.91}{400}} = \sqrt{\frac{0.0819}{400}} = \sqrt{0.0002048} \approx 0.0143$
したがって、95%信頼区間は：
$0.09 \pm 1.96 \times 0.0143 = 0.09 \pm 0.028 = [0.062, 0.118]$
連続性補正を適用する場合：母比率の信頼区間をより正確に計算するために、連続性補正（$\pm 0.5/n$）を適用することもあります。しかし、標本サイズが大きい場合（$n \geq 100$）、その影響は小さくなります。
また、母比率の信頼区間の別の方法として、ウィルソンのスコア区間やクロッパー・ピアソン（正確な）区間などもあります。これらは特に標本比率が0や1に近い場合や、標本サイズが小さい場合に有用です。
したがって、母比率 $p$ の95%信頼区間の下限は 0.062（小数第3位まで）です。