必要な標本サイズを求める問題です。
1. 問題の整理
与えられた情報：
- 母標準偏差: $\sigma = 100$ 時間
- 許容誤差: $E = 20$ 時間
- 信頼水準: 95%
2. 標本サイズの公式
母平均の推定において、指定された信頼水準と許容誤差を満たすために必要な標本サイズは次の式で計算できます：
$n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$
ここで：
- $z_{\alpha/2}$ は標準正規分布の上側 $\alpha/2$ 点
- $\sigma$ は母標準偏差
- $E$ は許容誤差
3. 計算
95%信頼水準の場合、$\alpha = 0.05$ なので、$\alpha/2 = 0.025$ となります。
$z_{0.025} = 1.96$ （標準正規分布表から）
必要な標本サイズは：
$n = \left( \frac{1.96 \times 100}{20} \right)^2 = \left( \frac{196}{20} \right)^2 = (9.8)^2 = 96.04$
標本サイズは整数でなければならないため、切り上げて $n = 97$ とします。
この計算では、中心極限定理に基づいて標本平均が正規分布に近似できることを前提としています。また、母標準偏差 $\sigma$ が既知であることも仮定しています。母標準偏差が未知の場合は、予備調査から推定するか、過去の類似研究から得られた値を使用することがあります。
また、計算された標本サイズは最小限必要な数であり、実際の調査では脱落や回答拒否などを考慮して、より多くの標本を計画することが一般的です。