2つの母平均の差の信頼区間を求める問題です。
1. 問題の整理
与えられた情報：
- 第1の標本: サイズ $n_1 = 25$、平均 $\bar{x}_1 = 80$、標準偏差 $s_1 = 10$
- 第2の標本: サイズ $n_2 = 36$、平均 $\bar{x}_2 = 75$、標準偏差 $s_2 = 12$
- 求める信頼水準: 95%
2. 適切な分布の選択
2つの独立な正規母集団の母平均の差 $\mu_1 - \mu_2$ の信頼区間を求める場合、母分散が未知であれば t分布を用います。ただし、2つの母分散が等しいかどうかによって計算方法が異なります。
この問題では母分散が等しいという情報がないため、ウェルチの方法（分散が等しくない場合の方法）を使用します。
3. 信頼区間の公式（ウェルチの方法）
母平均の差 $\mu_1 - \mu_2$ の $(1-\alpha)\times 100\%$ 信頼区間は次の式で与えられます：
$(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t_{\nu, \alpha/2} \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}$
ここで、$t_{\nu, \alpha/2}$ は自由度 $\nu$ の t分布の上側 $\alpha/2$ 点です。自由度 $\nu$ はウェルチ・サタスウェイトの式で近似されます：
$\nu \approx \frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1} + \frac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}$
4. 計算
まず、標準誤差を計算します：
$SE = \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}} = \sqrt{\frac{10^2}{25} + \frac{12^2}{36}} = \sqrt{\frac{100}{25} + \frac{144}{36}} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} \approx 2.83$
次に、自由度 $\nu$ を計算します：
$\nu \approx \frac{(4 + 4)^2}{\frac{4^2}{24} + \frac{4^2}{35}} = \frac{64}{\frac{16}{24} + \frac{16}{35}} = \frac{64}{0.667 + 0.457} = \frac{64}{1.124} \approx 56.94$
自由度を整数に丸めて $\nu = 57$ とします。
95%信頼区間の場合、$\alpha = 0.05$ なので、$\alpha/2 = 0.025$ となります。
$t_{57, 0.025} \approx 2.002$ （t分布表または統計ソフトウェアから）
したがって、95%信頼区間は：
$(80 - 75) \pm 2.002 \times 2.83 = 5 \pm 5.666 = [-0.666, 10.666]$
この結果は、2つの母平均の差 $\mu_1 - \mu_2$ の95%信頼区間が約 [-0.67, 10.67] であることを示しています。この区間には0が含まれているため、有意水準5%で2つの母平均に有意差があるとは言えません。ただし、この問題では信頼区間の計算のみが求められています。
したがって、2つの母平均の差 $\mu_1 - \mu_2$ の95%信頼区間の下限は -0.67（小数第2位まで）です。