二変量正規分布における無相関と独立の関係性についての問題です。
一般の確率分布においては、「独立ならば無相関」は常に成り立ちますが、「無相関ならば独立」は必ずしも成り立ちません。しかし、(X, Y) が同時に（二変量）正規分布に従う場合には、無相関と独立は同値になります。X と Y がそれぞれ正規分布に従うだけでは足りず、同時分布が二変量正規分布であることが必要です。
1. 一般的な確率分布における独立と無相関
- 独立 ⇒ 無相関: 2つの確率変数 X と Y が独立であるとは、任意のx, yに対して \( P(X \le x, Y \le y) = P(X \le x)P(Y \le y) \) (同時分布が周辺分布の積) が成り立つことです。独立ならば（分散が有限のとき）、\( E[XY] = E[X]E[Y] \) が成り立ち、共分散 \( Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 0 \) となるため、無相関です。
- 無相関 ⇏ 独立: 無相関（共分散が0、相関係数が0）であっても、必ずしも独立であるとは限りません。例えば、Xが一様分布 U(-1,1) に従い、Y=X² である場合、Cov(X,Y)=0 ですが、YはXに依存しているため独立ではありません。
2. 多変量正規分布（特に二変量正規分布）の場合
確率変数 (X, Y) が二変量正規分布に従う場合、その分布は平均ベクトル \( (\mu_X, \mu_Y) \)、分散共分散行列 \( \begin{pmatrix} \sigma_X^2 & \rho\sigma_X\sigma_Y \\ \rho\sigma_X\sigma_Y & \sigma_Y^2 \end{pmatrix} \) で特徴づけられます。ここで \( \rho \) は相関係数です。
この二変量正規分布において、相関係数 \( \rho = 0 \)（すなわち無相関）であることと、X と Y が独立であることは同値になります。つまり、同時確率密度関数が \( f(x,y) = f_X(x)f_Y(y) \) と周辺密度関数の積に分離できるのは、\( \rho = 0 \) のとき、またそのときに限ります。
3. 選択肢の検討
- 選択肢1: 誤り。分布によらず成り立つわけではなく、上の U(-1,1) と Y=X² の例のように無相関でも独立でない場合があります。無相関と独立が同値になるのは、二変量正規分布のような特別な場合です。
- 選択肢2: 本問の条件では不適切です。前半の「独立ならば無相関」は常に正しく、後半の「逆は必ずしも成り立たない」も一般の分布については正しい記述です。しかし本問は二変量正規分布を仮定しており、その場合は逆（無相関ならば独立）も成り立つので、「逆は必ずしも成り立たない」は本問の状況を正しく述べていません。
- 選択肢3: 正しい（正解）。二変量正規分布という条件の下では、無相関と独立は同値です。
- 選択肢4: 誤り。前半の「無相関でも独立とは限らない」は一般の分布では正しいものの、二変量正規分布では無相関ならば独立です。後半の「独立でも無相関とは限らない」は、分布によらず誤りです（独立ならば無相関）。
- 選択肢5: 誤り。前半の「相関係数が0でなければ独立にはなり得ない」は正しいですが、二変量正規分布では相関係数が0であれば必ず独立になるので、後半が誤りです。
したがって、最も適切なのは選択肢3です。二変量正規分布という特別な場合には、「無相関ならば独立」が成り立つことが重要です。一般の分布ではこの関係は成り立たないため、この区別をしっかり理解しておく必要があります。