母分散の検定を行う問題です。
1. 仮説の設定
問題文から、以下の仮説を設定します：
- 帰無仮説 $H_0$: $\sigma^2 = 4$ （母分散は4である）
- 対立仮説 $H_1$: $\sigma^2 \neq 4$ （母分散は4ではない）
これは両側検定です。
2. 検定統計量の計算
母分散の検定では、カイ二乗検定を用います。検定統計量 $\chi^2$ は以下の式で計算されます：
$\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}$
ここで、$n$ は標本サイズ、$S^2$ は不偏分散（分母が $n-1$）、$\sigma_0^2$ は帰無仮説で仮定される母分散です。この式が自由度 $n-1$ のカイ二乗分布に従うのは、$S^2$ が不偏分散のときです。
与えられた情報を代入します：
- $n = 16$
- $S^2 = 7.2$
- $\sigma_0^2 = 4$
$\chi^2 = \frac{(16-1) \times 7.2}{4} = \frac{15 \times 7.2}{4} = \frac{108}{4} = 27$
3. 臨界値と決定ルール
有意水準5%の両側検定では、自由度 $df = n - 1 = 16 - 1 = 15$ のカイ二乗分布の下側2.5%点と上側2.5%点（両側で5%）と比較します。ここでは $\chi^2_{15, \alpha}$ を上側 $\alpha$ 点（右側の面積が $\alpha$ になる点）とします。
カイ二乗分布表から：
- 下側2.5%点: $\chi^2_{15, 0.975} \approx 6.262$
- 上側2.5%点: $\chi^2_{15, 0.025} \approx 27.488$
計算された検定統計量 $\chi^2 = 27$ は、下側臨界値 $6.262$ より大きく、上側臨界値 $27.488$ より小さいです。したがって、有意水準5%では帰無仮説を棄却できません。
4. p値の計算
カイ二乗分布は左右対称ではありません。両側検定のp値は、観測値がある側の裾の確率を2倍して求めるのが一般的です（棄却域を上下に2.5%ずつ取ったことに対応します）。$\chi^2 = 27$ は分布の右側にあるので、上側の確率を使います。
数表では、自由度15の上側5%点は約24.996、上側2.5%点は約27.488です。$24.996 < 27 < 27.488$ なので、上側確率は0.025より大きく0.05より小さく、両側p値は0.05以上0.10未満とわかります。
計算ソフトを使うと、次のように求まります（数表には載っていない値です）。
$p\text{値} = 2 \times P(\chi^2_{15} > 27) \approx 2 \times 0.0287 \approx 0.0575$
$p\text{値} > 0.05$ なので、有意水準5%では帰無仮説を棄却できません。
5. 選択肢の検討
選択肢3「帰無仮説を棄却しない（0.05 ≤ p値 < 0.10）」が最も適切です。計算されたp値は約0.0575であり、0.05と0.10の間にあります。したがって、有意水準5%では帰無仮説を棄却しません。
母分散の検定では、カイ二乗分布が非対称であるため、両側検定の場合は上側と下側の臨界値が対称にはなりません。また、母分散の検定は正規性の仮定に敏感で、標本サイズを大きくしてもこの影響は小さくなりません。データが正規分布に従うかを確認することが大切です。
したがって、帰無仮説 $H_0$: $\sigma^2 = 4$ に対する結論として正しいものは「帰無仮説を棄却しない（0.05 ≤ p値 < 0.10）」です。