この問題では、一般的な変数変換におけるヤコビアン（Jacobian）の計算を学習します。多次元空間での座標変換が体積をどのように歪めるかを測る尺度です。
ヤコビアンの定義
変換 $(u, v)$ の $(x, y)$ に関するヤコビ行列式は：
$J = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{pmatrix}$
1. 各偏微分の計算
- $\frac{\partial u}{\partial x} = 1$, $\frac{\partial u}{\partial y} = 1$
- $\frac{\partial v}{\partial x} = 1$, $\frac{\partial v}{\partial y} = -1$
2. 行列式の計算
$J = 1 \times (-1) - 1 \times 1 = -1 - 1 = -2$
3. 絶対値をとる
積分などで面積拡大率として使う場合は絶対値をとります。
$|J| = |-2| = 2$
（注：問題文の表記 $\left|\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\right|$ は通常、行列式の絶対値を意味します）
幾何学的意味
行列 $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ は $\sqrt{2}$ 倍の拡大と、直線 $y = (\tan 22.5^\circ)\,x$ に関する鏡映（折り返し）の合成です。回転と正の拡大だけでは行列式は正になるので、行列式が負（$-2$）であることは向きの反転を含むことを表します。行列式の絶対値 2 は面積の倍率で、元の $xy$ 平面での単位正方形（面積1）は、この変換で一辺 $\sqrt{2}$ の正方形（面積2）に移ります。