この問題では方向微分計算を学習します。勾配が「最も急な方向」の変化率なら、方向微分は「任意の指定した方向」の変化率を表します。
方向微分の公式
単位ベクトル $\mathbf{u}$ 方向への微分は $\nabla f \cdot \mathbf{u}$ です。
1. 勾配ベクトルの計算
$\nabla f = (2xy, x^2)$
点 $(1,2)$ では $\nabla f(1,2) = (4, 1)$
2. 方向ベクトルの正規化
与えられたベクトル $\mathbf{v}=(3,4)$ は単位ベクトルではありません。長さを求めます：
$|\mathbf{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$
単位ベクトル $\mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{5} = (\frac{3}{5}, \frac{4}{5}) = (0.6, 0.8)$
3. 内積の計算
$D_{\mathbf{u}}f = (4, 1) \cdot (0.6, 0.8)$
$= 4 \times 0.6 + 1 \times 0.8$
$= 2.4 + 0.8 = 3.2$
注意点
方向微分を計算する際は、必ず方向ベクトルを単位ベクトル（長さ1）にしてから内積をとる必要があります。そうしないと、ベクトルの長さに依存した値になってしまい、「傾き」としての意味が曖昧になります。