この問題では3次元極座標（球座標）を用いた三重積分を学習します。高次元データの分布解析などで、空間全体の積分が必要になる場面で使われる基本セットアップです。
球座標変換
- $x = r\sin\phi\cos\theta$
- $y = r\sin\phi\sin\theta$
- $z = r\cos\phi$
- ヤコビアン（体積要素）：$dV = r^2\sin\phi\,drd\phi d\theta$
積分範囲（単位球）：$0 \le r \le 1, 0 \le \phi \le \pi, 0 \le \theta \le 2\pi$
1. 積分のセットアップ
$V = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^1 1 \cdot r^2\sin\phi \,drd\phi d\theta$
変数が分離できるので、個別に積分します。
2. 各変数の積分
- $r$ の積分：$\int_0^1 r^2\,dr = [\frac{r^3}{3}]_0^1 = \frac{1}{3}$
- $\phi$ の積分：$\int_0^\pi \sin\phi\,d\phi = [-\cos\phi]_0^\pi = -(-1) - (-1) = 2$
- $\theta$ の積分：$\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$
3. 仕上げ
$V = \frac{1}{3} \times 2 \times 2\pi = \frac{4\pi}{3}$
これは半径 $R=1$ の球の体積公式 $\frac{4}{3}\pi R^3$ と一致します。
「次元の呪い」の入り口
2次元（円）、3次元（球）と計算してきましたが、高次元（$N$次元球）の体積計算ではガンマ関数が登場します。高次元空間では体積の分布が表面付近に集中するなど、直感と異なる現象（次元の呪い）が起き始めます。