この問題では、平方根を含む関数の定義域と値域の求め方について理解を深めます。データサイエンスでは、関数の定義域と値域を正しく理解することが、データの範囲や変換の制約を把握する上で重要です。
定義域と値域の基本概念
定義域（Domain）：関数が意味を持つ（定義される）入力値 $x$ の範囲
値域（Range）：関数の出力値 $f(x)$ が実際に取りうる値の範囲
1. 定義域の求め方
関数 $f(x) = \sqrt{4-x^2}$ において、平方根の中身（被開方数）は0以上でなければなりません。
$4 - x^2 \geq 0$
この不等式を解きます：
\begin{align}4 - x^2 &\geq 0 \\-x^2 &\geq -4 \\x^2 &\leq 4 \\-2 \leq x &\leq 2\end{align}
したがって、定義域は $[-2, 2]$ です。
2. 値域の求め方
$x \in [-2, 2]$ において、$4 - x^2$ の値を調べます。
- $x = 0$ のとき：$4 - 0^2 = 4$ （最大値）
- $x = \pm 2$ のとき：$4 - (\pm 2)^2 = 0$ （最小値）
$4 - x^2$ の値の範囲は $[0, 4]$ なので、$\sqrt{4-x^2}$ の値の範囲は $[0, 2]$ です。
したがって、値域は $[0, 2]$ です。
計算のコツ
平方根の定義域：$\sqrt{f(x)}$ では $f(x) \geq 0$ が必要
値域の求め方：定義域での最大値・最小値を調べる
間違いやすいポイント：境界値（$x = \pm 2$）を含むかどうかの確認を忘れがち