この問題では、複数の変数を組み合わせた新しい指標（ポートフォリオの収益率や総合スコアなど）の分散の計算公式を学習します。特に変数間に相関がある場合の分散の変化を理解することが重要です。
分散の線形結合公式
定数 $a, b$ に対して：
$\operatorname{Var}(aX + bY) = a^2 \operatorname{Var}(X) + b^2 \operatorname{Var}(Y) + 2ab \operatorname{Cov}(X,Y)$
※独立なら $\operatorname{Cov}(X,Y)=0$ なので第3項は消えますが、今回は共分散が与えられています。
1. パラメータの代入
- $a = 0.6, b = 0.4$
- $\operatorname{Var}(X) = 9, \operatorname{Var}(Y) = 4$
- $\operatorname{Cov}(X,Y) = 1.2$
2. 各項の計算
- 第1項：$0.6^2 \times 9 = 0.36 \times 9 = 3.24$
- 第2項：$0.4^2 \times 4 = 0.16 \times 4 = 0.64$
- 第3項：$2 \times 0.6 \times 0.4 \times 1.2 = 0.48 \times 1.2 = 0.576$
3. 総和
$\operatorname{Var}(Z) = 3.24 + 0.64 + 0.576 = 4.456$
分散共分散行列
この計算は行列形式 $w^T \Sigma w$ で一般化できます。ポートフォリオ理論では、この第3項（共分散）が負になるような資産を組み合わせることで、期待リターンを維持したままリスク（分散）を減らす「分散投資効果」を狙います。