この問題では積率母関数 (Moment Generating Function) を用いて、分布の統計量（平均や分散）を導出する解析的な手法を学習します。
母関数の性質
母関数 $M_X(t) = E[e^{tX}]$ を微分して $t=0$ を代入すると、モーメント（積率）が得られます。
- 1階微分 $M'(0) = E[X]$
- 2階微分 $M''(0) = E[X^2]$
- 分散 $\operatorname{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$
1. 1階微分の計算
$M(t) = (q + pe^t)^n$ と置きます（$q=0.6, p=0.4, n=8$）。
$M'(t) = n(q + pe^t)^{n-1} \cdot pe^t$
$M'(0) = n(q+p)^{n-1}p = n(1)^{n-1}p = np = 8 \times 0.4 = 3.2$
2. 2階微分の計算
積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使います。
$M''(t) = n(n-1)(q + pe^t)^{n-2}(pe^t)^2 + n(q + pe^t)^{n-1}pe^t$
$t=0$ を代入：
$M''(0) = n(n-1)p^2 + np$
$= 8 \times 7 \times 0.4^2 + 3.2$
$= 56 \times 0.16 + 3.2 = 8.96 + 3.2 = 12.16$
3. 分散の計算
$\operatorname{Var}(X) = M''(0) - \{M'(0)\}^2$
$= 12.16 - 3.2^2 = 12.16 - 10.24 = 1.92$
（公式 $\operatorname{Var}(X) = np(1-p) = 8 \times 0.4 \times 0.6 = 1.92$ と一致します）
分布の再生性
母関数を使う最大のメリットは、独立な確率変数の和の分布が、母関数の積として求まることです。これにより正規分布やポアソン分布の再生性（和もまた同じ分布になる性質）を簡単に証明できます。