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<h4>正準相関分析：2つの変数群の関係探索</h4><p>正準相関分析（Canonical Correlation Analysis, CCA）は、2つの変数群間の関係を分析する多変量統計手法で、1936年にHotellingによって開発されました。</p><div class='key-point'><h4>正準相関分析の目的</h4><p>2つの変数群$\mathbf{X}$と$\mathbf{Y}$の線形結合間の相関を最大化する</p></div><p class='step'><strong>Step 1: 数学的定式化</strong></p><p><strong>変数群の設定：</strong></p><ul><li>$\mathbf{X} = (X_1, X_2, \ldots, X_p)^T$：第1変数群</li><li>$\mathbf{Y} = (Y_1, Y_2, \ldots, Y_q)^T$：第2変数群</li></ul><p><strong>第1正準変量：</strong></p><div class='formula'>$U_1 = \mathbf{a}_1^T \mathbf{X} = a_{11}X_1 + a_{12}X_2 + \cdots + a_{1p}X_p$$V_1 = \mathbf{b}_1^T \mathbf{Y} = b_{11}Y_1 + b_{12}Y_2 + \cdots + b_{1q}Y_q$
Step 2: 最適化問題
$\max_{\mathbf{a}_1, \mathbf{b}_1} \text{Corr}(U_1, V_1) = \max_{\mathbf{a}_1, \mathbf{b}_1} \frac{\mathbf{a}_1^T \mathbf{\Sigma}_{XY} \mathbf{b}_1}{\sqrt{\mathbf{a}_1^T \mathbf{\Sigma}_{XX} \mathbf{a}_1} \sqrt{\mathbf{b}_1^T \mathbf{\Sigma}_{YY} \mathbf{b}_1}}$
ここで：
- $\mathbf{\Sigma}_{XX}$：$\mathbf{X}$の分散共分散行列
- $\mathbf{\Sigma}_{YY}$：$\mathbf{Y}$の分散共分散行列
- $\mathbf{\Sigma}_{XY}$：$\mathbf{X}$と$\mathbf{Y}$の共分散行列
Step 3: 制約条件と標準化
計算を簡単にするため、以下の制約を課す：
$\mathbf{a}_1^T \mathbf{\Sigma}_{XX} \mathbf{a}_1 = 1$$\mathbf{b}_1^T \mathbf{\Sigma}_{YY} \mathbf{b}_1 = 1$
Step 4: 一般化固有値問題
ラグランジュ乗数法により、以下の固有値問題に帰着：
$\mathbf{\Sigma}_{XX}^{-1} \mathbf{\Sigma}_{XY} \mathbf{\Sigma}_{YY}^{-1} \mathbf{\Sigma}_{YX} \mathbf{a}_i = \rho_i^2 \mathbf{a}_i$$\mathbf{\Sigma}_{YY}^{-1} \mathbf{\Sigma}_{YX} \mathbf{\Sigma}_{XX}^{-1} \mathbf{\Sigma}_{XY} \mathbf{b}_i = \rho_i^2 \mathbf{b}_i$
正準相関の性質
- 正準相関係数：$\rho_i = \sqrt{\lambda_i}$（$\lambda_i$は固有値）
- 順序：$1 \geq \rho_1 \geq \rho_2 \geq \cdots \geq \rho_r \geq 0$
- 最大数：$r = \min(p, q)$個の正準相関
- 直交性：正準変量は群内で無相関、群間で相関
Step 5: 統計的検定
Wilksの$\Lambda$統計量：
$\Lambda = \prod_{i=1}^{r} (1 - \rho_i^2)$
帰無仮説：$H_0: \rho_1 = \rho_2 = \cdots = \rho_r = 0
lt;/p><p class='step'><strong>実際の応用例</strong></p><ul><li><strong>教育心理学</strong>：学力テストと適性検査の関係</li><li><strong>経済学</strong>：経済指標と社会指標の関係</li><li><strong>生物学</strong>：遺伝子発現と表現型の関係</li><li><strong>マーケティング</strong>：顧客属性と購買行動の関係</li></ul>