母標準偏差が既知の場合のz統計量の計算問題です。
z統計量とは
z統計量は、標本平均と帰無仮説下の母平均の差を標準化した値で、標準正規分布に従います。
z統計量の公式
1標本z検定の場合：
$z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$
ここで：
- $\bar{X}$：標本平均
- $\mu_0$：帰無仮説下の母平均
- $\sigma$：母標準偏差（既知）
- $n$：標本サイズ
計算手順
与えられた条件：
- 母標準偏差：σ = 5（既知）
- 標本サイズ：n = 25
- 標本平均：$\bar{x} = 102$
- 帰無仮説：μ₀ = 100
ステップ1： 標準誤差の計算
$SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{5}{\sqrt{25}} = \frac{5}{5} = 1$
ステップ2： z統計量の計算
$z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{SE} = \frac{102 - 100}{1} = \frac{2}{1} = 2.00$
z検定 vs t検定
z検定を使用する条件：
- 母標準偏差σが既知
- 母集団が正規分布、または大標本で中心極限定理適用
t検定を使用する条件：
- 母標準偏差σが未知
- 標本標準偏差sを使用
- t分布に従う（自由度n-1）
統計量の解釈：
- z = 2.00は標本平均が帰無仮説値から2標準誤差離れていることを示す
- 正の値は標本平均が仮説値より大きいことを意味
- 片側・両側の区別は判定段階で考慮（統計量計算は同じ）
実際の問題では母標準偏差が既知の場合は稀で、多くの場合t検定が使われます。しかし、理論的理解のためにz検定の計算は重要です。
したがって、z統計量は2.00です。