標準誤差（Standard Error）の理論と実用
標準誤差（SE）は、推定量の精度を表す基本的な指標です。統計的推論、仮説検定、信頼区間の構築、品質管理など、あらゆる統計分析の基盤となる概念です。
標準誤差の数学的定義
標本平均$\bar{X}$の標準誤差は、その標準偏差です：
$SE(\bar{X}) = \sqrt{Var(\bar{X})} = \sqrt{Var\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right)}$
独立性と線形性により：
$Var(\bar{X}) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n Var(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}$
したがって：
$SE(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
今回の計算
与えられた情報：$\sigma = 10$、$n = 25$
$SE(\bar{X}) = \frac{10}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2.00$
結果の解釈
標本平均の標準誤差が2.00ということは、異なる標本で得られる標本平均が、真の母平均の周りに標準偏差2.00でばらつくことを意味します。
標本サイズと精度の関係
| 標本サイズ n | SE = 10/√n | 精度の向上 | 必要コスト |
|---|
| 25 | 2.00 | ベースライン | 基準 |
| 100 | 1.00 | 2倍精度 | 4倍コスト |
| 400 | 0.50 | 4倍精度 | 16倍コスト |
洞察：精度をk倍にしたいなら、標本サイズを$k^2$倍にする必要があります。
標準誤差 vs 標準偏差
- 標準偏差（SD）：個々のデータのばらつき
- 標準誤差（SE）：推定量（標本平均など）のばらつき
母標準偏差が未知の場合：標本標準偏差$s$を使い、$\hat{SE}(\bar{X}) = s/\sqrt{n}$で推定します。