信頼区間とマージン・オブ・エラーの理論
マージン・オブ・エラー（Margin of Error, ME）は、信頼区間の半幅を表し、推定の不確実性を定量化する指標です。世論調査、品質管理、臨床試験などで幅広く使用され、結果の信頼性を評価するための標準的な手法です。
マージン・オブ・エラーの数学的定義
母標準偏差が既知の場合、標本平均の信頼水準$(1-\alpha) \times 100$%信頼区間のマージンは：
$ME = z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
ここで：
- $z_{\alpha/2}$ ：標準正規分布の上位 $\alpha/2$ 点
- $\sigma$ ：母標準偏差
- $n$ ：標本サイズ
今回の計算
与えられた情報：
- 信頼水準：95% → $\alpha = 0.05$ → $z_{0.025} = 1.96$
- 母標準偏差：$\sigma = 10$
- 標本サイズ：$n = 25$
- 標本平均：$\bar{x} = 52$
$ME = 1.96 \times \frac{10}{\sqrt{25}} = 1.96 \times \frac{10}{5} = 1.96 \times 2 = 3.92$
95%信頼区間の構築
信頼区間 = \bar{x} \pm ME = 52 \pm 3.92 = [48.08, 55.92]
結果の解釈
マージン・オブ・エラーが3.92ということは、真の母平均が標本平均から±3.92の範囲内にあることに95%の信頼を置けることを意味します。
| 信頼水準 | z値 | ME | 区間の幅 |
|---|
| 90% | 1.645 | 3.29 | 6.58 |
| 95% | 1.96 | 3.92 | 7.84 |
| 99% | 2.576 | 5.15 | 10.30 |
前提条件：この計算は母標準偏差が既知であり、標本が正規分布から抽出される（または中心極限定理により正規近似が成り立つ）ことを仮定しています。