中心極限定理（Central Limit Theorem）とは
中心極限定理は、母集団の分布の形に関係なく、標本サイズが十分大きければ標本平均の分布が正規分布に近づくという定理です。
中心極限定理の厳密な記述
条件：
- $X_1, X_2, \ldots, X_n$ が独立同分布（i.i.d.）
- 母平均 $E[X_i] = \mu$ が有限
- 母分散 $\text{Var}(X_i) = \sigma^2$ が有限
結論：
標本平均 $\bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$ について：
$\frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0,1)$ as $n \to \infty$
これは標準化された標本平均が標準正規分布に分布収束することを意味します。
各選択肢の詳細検討
選択肢1： 「母集団が正規分布でなくとも、標本平均の分布は大標本でほぼ正規になる」
→ 正しい。これがまさに中心極限定理の核心です。
選択肢2： 「母集団が正規分布でなければ標本平均も決して正規にならない」
→ 誤り。母集団の分布は問いません。
選択肢3： 「標本サイズが1でも正規になる」
→ 誤り。「大標本」が前提条件です。
選択肢4： 「離散分布には適用できない」
→ 誤り。離散分布にも適用可能です。
選択肢5： 「平均でなく分散にのみ適用される」
→ 誤り。標本平均の分布に関する定理です。