一元配置ANOVA表：平均平方とF - 問題演習問題12

一元配置ANOVA表：平均平方とF レベル2

3品種の収量を各8圃場で測った一元配置ANOVA表の一部である。平均平方は $MS=SS/df$、検定統計量は $F=MS_{\text{群間}}/MS_{\text{群内}}$ である。<strong>F値</strong>を求めよ。<div class='table-responsive'><table class='table table-sm'><caption>品種別収量のANOVA表（一部）</caption><thead><tr><th scope='col'>変動要因</th><th scope='col'>平方和 SS</th><th scope='col'>自由度 df</th><th scope='col'>平均平方 MS</th><th scope='col'>F</th></tr></thead><tbody><tr><th scope='row'>群間</th><td>72</td><td>2</td><td></td><td>（空欄）</td></tr><tr><th scope='row'>群内</th><td>126</td><td>21</td><td></td><td></td></tr><tr><th scope='row'>合計</th><td>198</td><td>23</td><td></td><td></td></tr></tbody></table></div>

解説

解答と解説を表示

ANOVA表の空欄は、定義どおりに割るだけです。平均平方は「平方和を自由度で割った平均的なばらつき」、Fは「群間の平均平方が、群内ノイズの何倍か」です。

定義

$$\begin{align}MS_{\text{群間}} &= \dfrac{SS_{\text{群間}}}{df_{\text{群間}}} \\MS_{\text{群内}} &= \dfrac{SS_{\text{群内}}}{df_{\text{群内}}} \\F &= \dfrac{MS_{\text{群間}}}{MS_{\text{群内}}}\end{align}$$

Step 1: 群間の平均平方

$$MS_{\text{群間}}=\dfrac{72}{2}=36$$

Step 2: 群内の平均平方

$$MS_{\text{群内}}=\dfrac{126}{21}=6$$

126÷21は、21×6=126なのでちょうど6です。

Step 3: F

$$F=\dfrac{36}{6}=6$$

検算として、自由度は3品種なら群間 $k-1=2$、各8圃場で $N=24$、群内 $24-3=21$、合計23で表と一致します。

Step 4: よくある誤り

$72/21$ や $126/2$ のように、平方和と自由度の組み合わせを取り違える
$SS_{\text{群間}}/SS_{\text{群内}}=72/126\approx 0.57$ をFと誤る（自由度で割る前）
$MS$ を足す・掛ける

Fの意味

$F=1$ 付近は、群間の差が群内ノイズと同程度で、平均差が見えにくい状態です。$F=6$ は、群間の平均平方が誤差の6倍、という比率です。棄却するかどうかは、自由度 $(2,21)$ のF分布の臨界値やp値と比較します（次問013）。

したがって、F値は6です。

計算の順序を固定する

先にMSを2つ出してから比を取る、が安全です。$72/2=36$、$126/21=6$、$36/6=6$。Fを $72/126$ とする誤りは、自由度で割る意味（平均平方）を飛ばしています。群内MS=6は「同じ品種の圃場間のノイズ」、群間MS=36は「品種間の平均差をノイズ単位で見た大きさ」です。比6は、平均差のばらつきが圃場ノイズの6倍、という記述です。

$N=24$、$k=3$ の検算も忘れずに。合計SS 198=72+126、df 23=2+21 で表は内部整合しています。Fの臨界値は本問では不要ですが、参考に $F_{0.05}(2,21)\approx 3.47$ で、6はその上です。棄却の文章化は013へ譲ります。

11問目は同じANOVAでも自由度だけを問いました。本問はSSとdfが両方埋まっているので、割って比を取る計算が本体です。数値も指導法の表（54と90）とは共有していません。品種3・各8圃場という別デザインです。

平均平方を「平均」と呼ぶのは、平方和を情報量（自由度）で割った平均的サイズだからです。観測値の算術平均とは別物です。記号MSと$\bar{y}$を混同しないでください。

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