信頼区間: 誤差の範囲 - 統計学編問題2/20

信頼区間: 誤差の範囲レベル1

ある調査で得られた母平均の95%信頼区間が $[15.2, 24.8]$ であったとします。この信頼区間の誤差の範囲（Margin of Error）を計算してください。

解説

信頼区間 (Confidence Interval) とは？

信頼区間は、標本データから母集団の真のパラメータ（母平均、母比率など）を推定する際に用いられる「区間推定」の結果です。これは、「もし同じ方法で何度も標本抽出と区間推定を繰り返した場合、計算された区間のうち特定の割合（信頼水準、例: 95%）が、真の母集団パラメータを含むであろう」という考えに基づいています。

単一の値で推定する「点推定」（例: 標本平均 $\bar{x}$ で母平均 $\mu$ を推定）とは異なり、信頼区間は推定の不確かさを区間の幅として表現します。

信頼区間の構成要素

信頼区間は通常、以下の形式で表されます。

$\text{信頼区間} = [\text{点推定値} - \text{誤差の範囲}, \text{点推定値} + \text{誤差の範囲}]$

または

$\text{信頼区間} = \text{点推定値} \pm \text{誤差の範囲}$

点推定値 (Point Estimate): 標本から計算されたパラメータの最良の推測値。信頼区間の中心となります。母平均の信頼区間の場合、通常は標本平均 $\bar{x}$ です。
誤差の範囲 (Margin of Error, MOE): 点推定値の周りにどれだけの「余裕」を持たせるかを示す値。この範囲が推定の不確かさを表します。誤差の範囲は、以下の要素から決まります:
- 信頼水準 (Confidence Level): 同じ方法で反復したときに区間が真値を含む割合（例: 95%）。すでに得た1つの区間が真値を含む確率、という意味ではない。信頼水準が高いほど、区間は広くなります（MOEが大きくなる）。
- データのばらつき: 標本データの標準偏差や標準誤差が大きいほど、区間は広くなります。
- 標本サイズ (n): 標本サイズが大きいほど、推定の精度が高まり、区間は狭くなります（MOEが小さくなる）。

具体的には、母平均の信頼区間の誤差の範囲は「（信頼水準に対応する）臨界値 × 標準誤差」で計算されます。

与えられた信頼区間からのMOE計算

信頼区間の上限値と下限値が分かっている場合、誤差の範囲 (MOE) は簡単に計算できます。

信頼区間 $[L, U]$ （L: 下限値, U: 上限値）が与えられたとき、

区間の中心（点推定値）は $\frac{L + U}{2}$
区間の全幅は $U - L$

誤差の範囲 (MOE) は、区間の全幅の半分です。

$\text{MOE} = \frac{\text{区間の全幅}}{2} = \frac{U - L}{2}$

あるいは、中心値から上限値（または下限値）までの距離としても計算できます。

$\text{MOE} = U - \frac{L + U}{2} = \frac{2U - (L+U)}{2} = \frac{U - L}{2}$

今回の計算

与えられた95%信頼区間は $[15.2, 24.8]$ です。

下限値 (L) = 15.2
上限値 (U) = 24.8

区間の全幅を計算します。

$\text{区間の全幅} = 24.8 - 15.2 = 9.6$

誤差の範囲 (MOE) はその半分です。

$\text{MOE} = \frac{9.6}{2} = 4.8$

(参考：この信頼区間の中心（母平均の点推定値）は $\frac{15.2 + 24.8}{2} = 20.0$ です。信頼区間は $20.0 \pm 4.8$ と表現できます。)

したがって、この信頼区間の誤差の範囲は 4.8 です。