確率変数・モーメント・母関数

Stage 2 — 第2章 | 統計検定準1級チートシート推定学習時間：70〜90分 | 難易度：★★★☆☆

このページで押さえること

確率変数とモーメントは、分布表を読むための前提です。準1級では、平均・分散をただ代入するだけでなく、母関数からモーメントを取り出す、独立和の分布を読む、共分散行列や相関の意味を説明する、という形で出てきます。

このページを終えると、こんなことができるようになります：

離散型と連続型で、期待値・分散・変換後の期待値を正しく書ける
共分散、相関、独立性の関係を混同せずに説明できる
MGF/PGFから平均・分散を取り出せる
母関数を使って独立和の分布やモーメントを読める
歪度、尖度、変動係数を「何を測る量か」で理解できる

1. 2級ではここまで、準1級ではここが増える

2級では、期待値と分散を分布ごとに計算できれば十分な場面が多いです。準1級では、確率変数を関数で変換したときの期待値、2変数の共分散、母関数、積率の取り出し方が問われます。

確率変数 $X$ は、標本空間 $\Omega$ の結果を実数へ写す関数です。

X:\Omega\to\mathbb{R}

確率変数を使う理由は、事象そのものではなく「結果を数値化した量」の分布を扱うためです。たとえば「成功したか」ならベルヌーイ変数、「成功回数」なら二項変数、「待ち時間」なら指数分布やガンマ分布として扱えます。

📘 前提知識：モーメントは分布の形を数字で読む部品

平均は中心、分散は広がり、歪度は左右の非対称性、尖度は裾や中心の鋭さを表します。 MGFやPGFは、これらの部品を微分で取り出せるようにした関数です。分布名を覚えるだけでなく、どの部品を読んでいるかを意識すると計算ミスが減ります。

2. 期待値・分散・変換後の期待値

離散型で確率質量関数を $p_X(x)$ とすると、期待値は

E[X]=\sum_x x p_X(x)

です。連続型で密度を $f_X(x)$ とすると、

E[X]=\int_{-\infty}^{\infty}x f_X(x)\,dx

です。

関数 $g(X)$ の期待値は、$X$ の分布で直接平均を取ります。

E[g(X)]=\sum_x g(x)p_X(x)

または

E[g(X)]=\int g(x)f_X(x)\,dx

です。ここで重要なのは、$g(X)$ の分布を先に求めなくても期待値を計算できることです。

分散は平均からの二乗距離です。

Var(X)=E[(X-\mu)^2],\qquad \mu=E[X]

展開すると、

Var(X)=E[X^2]-\{E[X]\}^2

です。計算問題ではこの形を使うことが多いですが、意味は「平均まわりのばらつき」です。

線形変換では、

\[ E[aX+b]=aE[X]+b \]

\[ Var(aX+b)=a^2Var(X) \]

となります。分散で $b$ が消え、$a$ が二乗になる点は頻出です。

3. 共分散・相関・独立性

2つの確率変数 $X,Y$ の共分散は、

\[ Cov(X,Y)=E[(X-E[X])(Y-E[Y])] \]

です。展開すると、

\[ Cov(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y] \]

です。共分散が正なら同じ方向、負なら逆方向に動きやすいと読みます。

相関係数は共分散を標準偏差で割った量です。

\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)}\sqrt{Var(Y)}}

単位を消して $-1$ から $1$ の範囲へ標準化します。

独立なら、

\[ E[XY]=E[X]E[Y] \]

なので、

\[ Cov(X,Y)=0 \]

です。ただし逆は一般に成り立ちません。共分散0は線形な関係がないことを示すだけで、非線形な依存が残ることがあります。

代表的な反例は、$X$ が $-1$ と $1$ を同確率で取り、$Y=X^2$ とする場合です。このとき $Y=1$ で $X$ に完全に依存していますが、

E[X]=0,\qquad E[XY]=E[X^3]=E[X]=0

なので $Cov(X,Y)=0$ です。

4. 母関数：MGFとPGF

モーメント母関数（MGF）は、

M_X(t)=E[e^{tX}]

です。名前の通り、微分するとモーメントが出ます。指数関数を展開すると、

e^{tX}=1+tX+\frac{t^2X^2}{2!}+\frac{t^3X^3}{3!}+\cdots

なので、期待値を取って

M_X(t)=1+tE[X]+\frac{t^2E[X^2]}{2!}+\frac{t^3E[X^3]}{3!}+\cdots

です。したがって、

M_X'(0)=E[X],\qquad M_X''(0)=E[X^2]

が成り立ちます。分散は

Var(X)=M_X''(0)-\{M_X'(0)\}^2

です。

非負整数値を取る確率変数では、確率母関数（PGF）も使います。

G_X(s)=E[s^X]=\sum_{k=0}^{\infty}P(X=k)s^k

PGFでは、係数が確率そのものです。また、

\[ G_X'(1)=E[X] \]

\[ G_X''(1)=E[X(X-1)] \]

となります。二項分布、幾何分布、ポアソン分布の和を扱うときに便利です。

次の図では、MGFは $t=0$、PGFは $s=1$ で微分してモーメントを読む違いを整理する。

MGFはt=0、PGFはs=1で微分し、独立和では母関数が積になることを示す比較図

MGFは通常のモーメント、PGFは非負整数値分布の確率係数と階乗モーメントを読む道具である。

MGFは $M_X'(0)=E[X]$, $M_X''(0)=E[X^2]$ を読む。一方、PGFは $G_X'(1)=E[X]$, $G_X''(1)=E[X(X-1)]$ を読むため、2階微分をそのまま $E[X^2]$ と解釈しない。

5. 独立和と母関数

$X$ と $Y$ が独立なら、

M_{X+Y}(t)=E[e^{t(X+Y)}]

です。指数法則より、

e^{t(X+Y)}=e^{tX}e^{tY}

なので、独立性から期待値が分解でき、

M_{X+Y}(t)=E[e^{tX}]E[e^{tY}]=M_X(t)M_Y(t)

となります。これが「独立和の母関数は積になる」という基本事実です。

たとえば、$X_i\sim Bernoulli(p)$ が独立なら、

M_{X_i}(t)=1-p+pe^t

です。和 $S=\sum_{i=1}^n X_i$ のMGFは、

\[ M_S(t)=(1-p+pe^t)^n \]

となり、これは $Binomial(n,p)$ のMGFです。このように、二項分布はベルヌーイ分布の独立和として出ます。

6. 歪度・尖度・変動係数

平均と分散だけでは、分布の形は決まりません。準1級では、分布の非対称性や裾の重さを読むために、標準化モーメントが出ることがあります。

歪度は、標準化した3次中心モーメントです。

\gamma_1=E\left[\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^3\right]

右に長い裾を持つ分布では正、左に長い裾を持つ分布では負になりやすいです。

尖度は、標準化した4次中心モーメントです。

\gamma_2=E\left[\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^4\right]

正規分布では $\gamma_2=3$ です。そのため、過剰尖度として $\gamma_2-3$ を使うこともあります。

変動係数は、平均に対する標準偏差の相対的な大きさです。

CV=\frac{\sigma}{\mu}

単位の違うデータの相対的なばらつきを比較するために使います。ただし、平均が0に近い場合は不安定になるので注意します。

7. 問題文トリガー辞書

問題文の表現	判断する論点	使う公式・手法	確認条件	典型ミス
「期待値を求めよ」	分布に対する平均	$E[g(X)]$	変換後の分布が必要か	$g(E[X])$ としてしまう
「分散を求めよ」	2次モーメント	$E[X^2]-E[X]^2$	平均を先に求める	$E[X^2]$ だけで終える
「相関係数」	共分散の標準化	$Cov(X,Y)/(\sigma_X\sigma_Y)$	分散が正か	共分散と相関を同一視する
「独立なら」	期待値の分解	$E[XY]=E[X]E[Y]$	独立性が明示されているか	無相関から独立を結論する
「MGF」	積率の取り出し	$M_X'(0),M_X''(0)$	0の近傍で存在するか	PGFと代入点を混同する
「PGF」	非負整数値分布	$G_X(s)=E[s^X]$	$X$ が整数値か	$G'(0)$ で平均を取る
「独立和」	母関数の積	$M_{X+Y}=M_XM_Y$	独立か	相関0だけで積にする

8. 典型ミス・ひっかけ

ミス	なぜ危ないか	防ぎ方
$E[g(X)]$ を $g(E[X])$ にする	非線形変換では一般に一致しない	期待値は分布全体で平均する
分散で $a$ ではなく $a^2$ を忘れる	単位とばらつきの変換を誤る	$Var(aX+b)=a^2Var(X)$ を確認する
共分散0を独立と読む	非線形依存を見落とす	独立なら無相関、逆は一般に不可
MGFとPGFの微分点を混同する	平均・分散がずれる	MGFは0、PGFは1で微分
母関数の積を独立でない和に使う	分布を誤判定する	独立性の記述を確認する

9. ここで1問

このページの確認問題

確率と確率分布の演習へ

まず解く: モーメント母関数、期待値・分散、共分散と相関

目標: MGFから平均・分散を1回で取り出せる

10. 解法テンプレ

確率変数・母関数の問題では、次の順で処理します。

$X$ は離散型、連続型、非負整数値のどれかを確認する。
求める量が期待値、分散、共分散、相関、母関数のどれかを決める。
変換 $g(X)$ があるなら、$E[g(X)]$ を直接書く。
分散は $E[X^2]-E[X]^2$ で計算する。
MGFなら0で微分、PGFなら1で微分する。
独立和なら母関数を積にする。独立でないなら積にしない。

11. 関連教材

関連教材（青の統計学）

確率分布の基礎（動画）

確率密度関数とは？確率質量関数との違いも解説（記事）

統計学応用確率と確率分布

12. 次に読むページ

次は、変数変換、大数の法則、中心極限定理、デルタ法を扱います。母関数で見た「和の分布」や「モーメント」は、極限定理の理解につながります。

変数変換・極限定理・デルタ法