離散型確率分布：二項分布とポアソン分布

Stage 3 — 第2章| 統計学基礎カリキュラム推定学習時間：50〜60分 | 難易度：★★★☆☆

この章で学ぶこと

確率変数が理解できれば、次は「よく現れる確率分布」を学ぶステップです。現実の多くの現象は、特定の分布のパターンに従います。そのパターンを知っていれば、複雑な計算をせずに確率を求めることができます。

この章で学ぶ2つの分布：

二項分布：「成功か失敗か」を $n$ 回繰り返したとき、成功する回数の分布
ポアソン分布：一定時間・一定領域に「まれな事象」が起きる回数の分布

この章を終えると、こんなことができるようになります：

ベルヌーイ試行の条件を説明できる
二項分布 $B(n, p)$ の確率質量関数を使って確率を計算できる
二項分布の期待値・分散を公式から求められる
ポアソン分布が適用できる状況を判断できる
二項分布とポアソン分布の関係（近似）を説明できる

1. ベルヌーイ試行

二項分布の基礎となる概念です。

ベルヌーイ試行（Bernoulli trial）の条件：

各試行の結果は「成功」か「失敗」の2択のみ
各試行は独立（前の結果が次に影響しない）
毎回の成功確率 $p$ は一定

例：

コインを投げる（表＝成功、$p=0.5$）
製品を1個検査する（良品＝成功、$p=0.97$）
薬の投与（回復＝成功、$p=0.7$）

ベルヌーイ確率変数：

1回の試行の結果を $X$ とすると：

P(X = 1) = p, \quad P(X = 0) = 1 - p

E[X] = p, \quad V[X] = p(1-p)

2. 二項分布

関連教材（青の統計学）

二項分布（動画）

ベルヌーイ分布（動画）

【完全版】二項分布をわかりやすく説明｜統計学（記事）

2.1 定義

ベルヌーイ試行を $n$ 回繰り返したとき、成功回数 $X$ が従う分布を二項分布（Binomial Distribution）といい、$X \sim B(n, p)$ と書きます。

2.2 確率質量関数（PMF）

$n$ 回中 $k$ 回成功する確率：

\boxed{P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, n}

各項の意味：

項	意味
$\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$	$n$ 回中 $k$ 回を「どの回に成功するか」の選び方の数
$p^k$	$k$ 回成功する確率（独立なので掛け算）
$(1-p)^{n-k}$	残り $n-k$ 回失敗する確率

例）コインを5回投げて、ちょうど3回表が出る確率（$p=0.5$）：

P(X=3) = \binom{5}{3} (0.5)^3 (0.5)^2 = 10 \times 0.125 \times 0.25 = 0.3125

2.3 期待値と分散

\[ E[X] = np \]

\[ V[X] = np(1-p) \]

導出のイメージ： $X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$（各 $X_i$ は独立なベルヌーイ確率変数）として、期待値の線形性と分散の加法性を使えば自然に導けます。

例）コイン10回投げ：

E[X] = 10 \times 0.5 = 5, \quad V[X] = 10 \times 0.5 \times 0.5 = 2.5, \quad \sigma = \sqrt{2.5} \approx 1.58

[図1] 二項分布 $B(10, p)$ の形状変化

二項分布の形状の特徴：

$p$ の値	分布の形
$p = 0.5$	左右対称
$p < 0.5$	右に歪む（正の歪み）
$p > 0.5$	左に歪む（負の歪み）
$n$ が大きい	正規分布に近づく（後述）

📘 専門的な補足：二項係数の計算

$\binom{n}{k}$ は「$n$ 個から $k$ 個を選ぶ組み合わせの数」です。

\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

よく使う値：

$\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$

$\binom{n}{1} = \binom{n}{n-1} = n$

$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{120}{2 \times 6} = 10$

パスカルの三角形を使うと手計算が楽になります：
  n=0:       1
            n=1:      1 1
            n=2:     1 2 1
            n=3:    1 3 3 1
            n=4:   1 4 6 4 1
            n=5:  1 5 10 10 5 1
          
各数は左上と右上の数の和。$n$ 行目が $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}$ に対応します。

3. ポアソン分布

関連教材（青の統計学）

ポアソン分布（動画）

幾何分布（動画）

負の二項分布（動画）

【統計学】ポアソン分布についてわかりやすく解説（記事）

3.1 ポアソン分布が登場する状況

次のような現象を考えます：

1時間に交差点を通る事故の件数
1ページの本に含まれる誤字の数
1日にコールセンターに入る電話の回数
1 $\text{cm}^2$ の金属板に含まれる傷の数

これらに共通する特徴：

事象がまれ（1回1回の発生確率は小さい）
事象の発生が互いに独立
平均発生率 $\lambda$ が一定
同時に2件以上発生する確率は無視できるほど小さい

このような状況での発生回数の分布がポアソン分布（Poisson Distribution）です。

3.2 確率質量関数

\boxed{P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots}

$\lambda > 0$ は単位時間（面積など）あたりの平均発生回数です。$e \approx 2.71828$ はネイピア数。

3.3 期待値と分散

E[X] = \lambda, \quad V[X] = \lambda

ポアソン分布の最大の特徴：期待値と分散が等しい（どちらも $\lambda$）。

[図2] ポアソン分布の形状（$\lambda$ の違い）

例）あるコールセンターに1時間あたり平均3件の問い合わせが来る（$\lambda = 3$）。

$P(X = 0)$：1時間に問い合わせが0件の確率：

P(X=0) = \frac{3^0 e^{-3}}{0!} = e^{-3} \approx 0.0498

$P(X = 5)$：1時間に5件の確率：

P(X=5) = \frac{3^5 e^{-3}}{5!} = \frac{243 \times 0.0498}{120} \approx 0.1008

4. 二項分布とポアソン分布の関係

$n$ が大きく $p$ が小さい二項分布 $B(n, p)$ は、$\lambda = np$ のポアソン分布で近似できます。

B(n, p) \xrightarrow{n \to \infty,\; p \to 0,\; np = \lambda} \text{Poisson}(\lambda)

近似の目安： $n \geq 20$ かつ $p \leq 0.05$ のとき（または $np \leq 5$ 程度）

例）製品の不良品率が 0.5%（$p = 0.005$）。200個検査するとき、不良品が2個以下の確率。

$\lambda = np = 200 \times 0.005 = 1$ としてポアソン近似：

P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

= \frac{1^0 e^{-1}}{0!} + \frac{1^1 e^{-1}}{1!} + \frac{1^2 e^{-1}}{2!}

= e^{-1}\left(1 + 1 + \frac{1}{2}\right) = e^{-1} \times 2.5 \approx 0.3679 \times 2.5 \approx 0.9197

二項分布の正確な計算は $\binom{200}{0}$〜$\binom{200}{2}$ と非常に大きな数を扱いますが、ポアソン近似なら小さい数の計算で済みます。

📘 専門的な補足：ポアソン分布の導出

ポアソン分布は実は二項分布から自然に導出できます。 $n \to \infty$、$p \to 0$、$np = \lambda$（一定）の極限を取ると：
$\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \xrightarrow{} \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$
この導出の鍵は $(1 - \lambda/n)^n \to e^{-\lambda}$（$e$ の定義の一つ）という極限です。「$e$」がポアソン分布の式に自然に現れるのはこのためです。

5. 演習問題

問題1（二項分布の確率計算）

ある医薬品の治癒率は70%とされています。この薬を5人の患者に投与するとき：

（1）ちょうど4人が治癒する確率を求めてください。（2）3人以上が治癒する確率を求めてください。（3）この試行の期待値と標準偏差を求めてください。

💡 解答・解説を見る

$X \sim B(5, 0.7)$

（1）$P(X = 4)$：

P(X=4) = \binom{5}{4}(0.7)^4(0.3)^1 = 5 \times 0.2401 \times 0.3 = 5 \times 0.07203 = \mathbf{0.3601}

（2）$P(X \geq 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$：

P(X=3) = \binom{5}{3}(0.7)^3(0.3)^2 = 10 \times 0.343 \times 0.09 = \mathbf{0.3087}

P(X=5) = \binom{5}{5}(0.7)^5(0.3)^0 = 1 \times 0.16807 \times 1 = \mathbf{0.1681}

P(X \geq 3) = 0.3087 + 0.3601 + 0.1681 = \mathbf{0.8369}

3人以上が治癒する確率は約84%です。

（3）期待値と標準偏差：

E[X] = np = 5 \times 0.7 = \mathbf{3.5 \text{ 人}}

V[X] = np(1-p) = 5 \times 0.7 \times 0.3 = 1.05

\sigma = \sqrt{1.05} \approx \mathbf{1.025 \text{ 人}}

問題2（ポアソン分布）

ある道路で1日あたりに発生する交通事故の件数は、平均2件のポアソン分布に従うとします。

（1）ある日、事故が1件も発生しない確率を求めてください。（2）ある日、事故が3件以上発生する確率を求めてください。（余事象を使ってください）（3）この分布の期待値と分散を答えてください。

$e^{-2} \approx 0.1353$ を使ってよい。

💡 解答・解説を見る

$X \sim \text{Poisson}(2)$

（1）$P(X = 0)$：

P(X=0) = \frac{2^0 e^{-2}}{0!} = e^{-2} \approx \mathbf{0.1353}

1日中事故がない確率は約13.5%です。

（2）$P(X \geq 3)$（余事象を使う）：

P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]

P(X=1) = \frac{2^1 e^{-2}}{1!} = 2e^{-2} \approx 0.2707

P(X=2) = \frac{2^2 e^{-2}}{2!} = \frac{4e^{-2}}{2} = 2e^{-2} \approx 0.2707

P(X \geq 3) = 1 - (0.1353 + 0.2707 + 0.2707) = 1 - 0.6767 \approx \mathbf{0.3233}

3件以上発生する確率は約32.3%です。

（3）

E[X] = \lambda = \mathbf{2 \text{ 件}}, \quad V[X] = \lambda = \mathbf{2}

ポアソン分布では期待値＝分散＝$\lambda$ が成り立ちます。

問題3（二項分布のポアソン近似）

ある大規模な試験で、採点ミスが発生する確率は1問につき0.2%（$p = 0.002$）です。ある受験者の答案は400問あります。

（1）ポアソン近似を使って、採点ミスが1問も発生しない確率を求めてください。（2）採点ミスが2問以上発生する確率を求めてください。

$e^{-0.8} \approx 0.4493$ を使ってよい。

💡 解答・解説を見る

$n = 400$、$p = 0.002$ は「$n$ 大・$p$ 小」の条件を満たすのでポアソン近似が適用できます。

\lambda = np = 400 \times 0.002 = 0.8

（1）$P(X = 0)$：

P(X=0) = \frac{0.8^0 e^{-0.8}}{0!} = e^{-0.8} \approx \mathbf{0.4493}

採点ミスが1問もない確率は約45%です。

（2）$P(X \geq 2)$（余事象）：

P(X=1) = \frac{0.8^1 e^{-0.8}}{1!} = 0.8 \times 0.4493 \approx 0.3594

P(X \geq 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1) = 1 - 0.4493 - 0.3594 = \mathbf{0.1913}

2問以上の採点ミスが起きる確率は約19%です。

確認： 二項分布の正確な計算では $\binom{400}{0}(0.002)^0(0.998)^{400}$ などを計算する必要があり非常に煩雑ですが、ポアソン近似なら指数関数の計算だけで済みます。

まとめ

	二項分布 $B(n, p)$	ポアソン分布 $\text{Pois}(\lambda)$
適用場面	$n$ 回のベルヌーイ試行の成功回数	まれな事象の発生回数
PMF	$\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$	$\lambda^k e^{-\lambda}/k!$
期待値	$np$	$\lambda$
分散	$np(1-p)$	$\lambda$
パラメータ	$n$（試行回数）, $p$（成功確率）	$\lambda$（平均発生率）
関係	$n$ 大・$p$ 小のとき $\lambda=np$ でポアソン近似可	—

この章のキーメッセージ： 現実の現象を「どの分布で近似できるか」を見極めることが、確率計算の第一歩です。「成功か失敗かを $n$ 回繰り返す」なら二項分布、「まれな事象の発生回数」ならポアソン分布——このパターン認識が実践力の核心です。

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離散型の2つの分布を学びました。次は統計学で最も重要な連続型分布——正規分布——を徹底的に学びます。

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