離散型確率分布：二項分布とポアソン分布

Stage 3 — 第2章| 統計学基礎カリキュラム 推定学習時間：50〜60分 | 難易度：★★★☆☆

この章で学ぶこと

確率変数が理解できれば、次は「よく現れる確率分布」を学ぶステップです。 現実の多くの現象は、特定の分布のパターンに従います。そのパターンを知っていれば、複雑な計算をせずに確率を求めることができます。

この章で学ぶ2つの分布：

• 二項分布：「成功か失敗か」を $n$ 回繰り返したとき、成功する回数の分布
• ポアソン分布：一定時間・一定領域に「まれな事象」が起きる回数の分布

この章を終えると、こんなことができるようになります：

• ベルヌーイ試行の条件を説明できる
• 二項分布 $B(n, p)$ の確率質量関数を使って確率を計算できる
• 二項分布の期待値・分散を公式から求められる
• ポアソン分布が適用できる状況を判断できる
• 二項分布とポアソン分布の関係（近似）を説明できる

1. ベルヌーイ試行

二項分布の基礎となる概念です。

ベルヌーイ試行（Bernoulli trial）の条件：

1. 各試行の結果は「成功」か「失敗」の2択のみ
2. 各試行は独立（前の結果が次に影響しない）
3. 毎回の成功確率 $p$ は一定

例：

• コインを投げる（表＝成功、$p=0.5$）
• 製品を1個検査する（良品＝成功、$p=0.97$）
• 薬の投与（回復＝成功、$p=0.7$）

ベルヌーイ確率変数：

1回の試行の結果を $X$ とすると：

$P(X = 1) = p, \quad P(X = 0) = 1 - p$

$E[X] = p, \quad V[X] = p(1-p)$

2. 二項分布

関連教材（青の統計学）

• 二項分布（動画）
• ベルヌーイ分布（動画）
• 【完全版】二項分布をわかりやすく説明｜統計学（記事）

2.1 定義

ベルヌーイ試行を $n$ 回繰り返したとき、成功回数 $X$ が従う分布を二項分布（Binomial Distribution）といい、$X \sim B(n, p)$ と書きます。

2.2 確率質量関数（PMF）

$n$ 回中 $k$ 回成功する確率：

$\boxed{P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, n}$

各項の意味：

例） コインを5回投げて、ちょうど3回表が出る確率（$p=0.5$）：

$P(X=3) = \binom{5}{3} (0.5)^3 (0.5)^2 = 10 \times 0.125 \times 0.25 = 0.3125$

2.3 期待値と分散

$E[X] = np$

$V[X] = np(1-p)$

導出のイメージ： $X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$（各 $X_i$ は独立なベルヌーイ確率変数）として、期待値の線形性と分散の加法性を使えば自然に導けます。

例） コイン10回投げ：

$E[X] = 10 \times 0.5 = 5, \quad V[X] = 10 \times 0.5 \times 0.5 = 2.5, \quad \sigma = \sqrt{2.5} \approx 1.58$

[図1] 二項分布 $B(10, p)$ の形状変化

二項分布の形状の特徴：

📘 専門的な補足：二項係数の計算

$\binom{n}{k}$ は「$n$ 個から $k$ 個を選ぶ組み合わせの数」です。

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

よく使う値：

• $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$
• $\binom{n}{1} = \binom{n}{n-1} = n$
• $\binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{120}{2 \times 6} = 10$

パスカルの三角形を使うと手計算が楽になります：

  n=0:       1
            n=1:      1 1
            n=2:     1 2 1
            n=3:    1 3 3 1
            n=4:   1 4 6 4 1
            n=5:  1 5 10 10 5 1
          

各数は左上と右上の数の和。$n$ 行目が $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}$ に対応します。

3. ポアソン分布

関連教材（青の統計学）

• ポアソン分布（動画）
• 幾何分布（動画）
• 負の二項分布（動画）
• 【統計学】ポアソン分布についてわかりやすく解説（記事）

3.1 ポアソン分布が登場する状況

次のような現象を考えます：

• 1時間に交差点を通る事故の件数
• 1ページの本に含まれる誤字の数
• 1日にコールセンターに入る電話の回数
• 1 $\text{cm}^2$ の金属板に含まれる傷の数

これらに共通する特徴：

1. 事象がまれ（1回1回の発生確率は小さい）
2. 事象の発生が互いに独立
3. 平均発生率 $\lambda$ が一定
4. 同時に2件以上発生する確率は無視できるほど小さい

このような状況での発生回数の分布がポアソン分布（Poisson Distribution）です。

3.2 確率質量関数

$\boxed{P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots}$

$\lambda > 0$ は単位時間（面積など）あたりの平均発生回数です。$e \approx 2.71828$ はネイピア数。

3.3 期待値と分散

$E[X] = \lambda, \quad V[X] = \lambda$

ポアソン分布の最大の特徴：期待値と分散が等しい（どちらも $\lambda$）。

[図2] ポアソン分布の形状（$\lambda$ の違い）

例） あるコールセンターに1時間あたり平均3件の問い合わせが来る（$\lambda = 3$）。

• $P(X = 0)$：1時間に問い合わせが0件の確率：

$P(X=0) = \frac{3^0 e^{-3}}{0!} = e^{-3} \approx 0.0498$

• $P(X = 5)$：1時間に5件の確率：

$P(X=5) = \frac{3^5 e^{-3}}{5!} = \frac{243 \times 0.0498}{120} \approx 0.1008$

4. 二項分布とポアソン分布の関係

$n$ が大きく $p$ が小さい二項分布 $B(n, p)$ は、$\lambda = np$ のポアソン分布で近似できます。

$B(n, p) \xrightarrow{n \to \infty,\; p \to 0,\; np = \lambda} \text{Poisson}(\lambda)$

近似の目安： $n \geq 20$ かつ $p \leq 0.05$ のとき（または $np \leq 5$ 程度）

例） 製品の不良品率が 0.5%（$p = 0.005$）。200個検査するとき、不良品が2個以下の確率。

$\lambda = np = 200 \times 0.005 = 1$ としてポアソン近似：

$P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$

$= \frac{1^0 e^{-1}}{0!} + \frac{1^1 e^{-1}}{1!} + \frac{1^2 e^{-1}}{2!}$

$= e^{-1}\left(1 + 1 + \frac{1}{2}\right) = e^{-1} \times 2.5 \approx 0.3679 \times 2.5 \approx 0.9197$

二項分布の正確な計算は $\binom{200}{0}$〜$\binom{200}{2}$ と非常に大きな数を扱いますが、ポアソン近似なら小さい数の計算で済みます。

📘 専門的な補足：ポアソン分布の導出

ポアソン分布は実は二項分布から自然に導出できます。 $n \to \infty$、$p \to 0$、$np = \lambda$（一定）の極限を取ると：

$\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \xrightarrow{} \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$

この導出の鍵は $(1 - \lambda/n)^n \to e^{-\lambda}$（$e$ の定義の一つ）という極限です。 「$e$」がポアソン分布の式に自然に現れるのはこのためです。

5. 演習問題

問題1（二項分布の確率計算）

ある医薬品の治癒率は70%とされています。この薬を5人の患者に投与するとき：

（1）ちょうど4人が治癒する確率を求めてください。 （2）3人以上が治癒する確率を求めてください。 （3）この試行の期待値と標準偏差を求めてください。

問題2（ポアソン分布）

ある道路で1日あたりに発生する交通事故の件数は、平均2件のポアソン分布に従うとします。

（1）ある日、事故が1件も発生しない確率を求めてください。 （2）ある日、事故が3件以上発生する確率を求めてください。（余事象を使ってください） （3）この分布の期待値と分散を答えてください。

$e^{-2} \approx 0.1353$ を使ってよい。

問題3（二項分布のポアソン近似）

ある大規模な試験で、採点ミスが発生する確率は1問につき0.2%（$p = 0.002$）です。ある受験者の答案は400問あります。

（1）ポアソン近似を使って、採点ミスが1問も発生しない確率を求めてください。 （2）採点ミスが2問以上発生する確率を求めてください。

$e^{-0.8} \approx 0.4493$ を使ってよい。

まとめ

この章のキーメッセージ： 現実の現象を「どの分布で近似できるか」を見極めることが、確率計算の第一歩です。 「成功か失敗かを $n$ 回繰り返す」なら二項分布、「まれな事象の発生回数」ならポアソン分布——このパターン認識が実践力の核心です。

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離散型の2つの分布を学びました。次は統計学で最も重要な連続型分布——正規分布——を徹底的に学びます。

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