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分散・カイ二乗検定

Stage 2 — 第12章 | 統計検定2級チートシート 推定学習時間：50〜65分 | 難易度：★★★★☆

この章で学ぶこと

この章では、カイ二乗分布を使う検定をまとめて整理します。統計検定2級では、母分散の検定、適合度検定、独立性検定がよく出題されます。どれもカイ二乗分布を参照しますが、検定したい対象はまったく違います。

  • 母分散の検定：ばらつきが基準値と同じかを見る
  • 適合度検定：観測度数が理論分布に合っているかを見る
  • 独立性検定：2つの質的変数に関連があるかを見る
  • 期待度数、観測度数、自由度の数え方を区別する

1. カイ二乗分布を使う場面

カイ二乗分布は、独立な標準正規確率変数の二乗和として現れます。

\[ Z_1, Z_2, \ldots, Z_k \sim N(0,1) \quad \text{independent} \]
\[ Z_1^2+Z_2^2+\cdots+Z_k^2 \sim \chi^2_k \]

統計検定2級では、分布の導出よりも「どの検定で何の自由度を使うか」が重要です。

検定 目的 統計量 自由度
母分散の検定 母分散が仮定値か $\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}$ $n-1$
適合度検定 理論分布に合うか $\sum \frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$ カテゴリ数 - 1 - 推定母数数
独立性検定 2変数が独立か $\sum_i\sum_j \frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}$ $(r-1)(c-1)$

[図1] カイ二乗分布を使う3つの場面 母分散の検定、適合度検定、独立性検定の目的と自由度を整理した図

関連教材（青の統計学）

2. 母分散の検定

正規母集団から標本 $X_1,\ldots,X_n$ を得たとします。母分散が基準値 $\sigma_0^2$ と等しいかを調べるとき、次の統計量を使います。

\[ \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2_{n-1} \quad (H_0: \sigma^2=\sigma_0^2) \]

ここで $S^2$ は不偏分散です。

\[ S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2 \]

なぜカイ二乗分布につながるのか

正規母集団からの標本では、標本分散は母分散の周りでランダムにばらつきます。このばらつきを標準化したものが

\[ \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \]

です。これは、標準正規分布に従う成分の二乗和として表せるため、カイ二乗分布に従います。

直感的には、分散の検定では「平均からどれくらい離れているか」を二乗して合計しているため、二乗和の分布であるカイ二乗分布が出てきます。

仮説の立て方

両側検定なら次のように置きます。

\[ H_0: \sigma^2=\sigma_0^2 \]
\[ H_1: \sigma^2\neq\sigma_0^2 \]

片側検定では「ばらつきが大きくなったか」「小さくなったか」に応じて、$H_1: \sigma^2>\sigma_0^2$ または $H_1: \sigma^2<\sigma_0^2$ とします。

試験での注意点

母分散の検定では、母平均ではなくばらつきそのものを検定しています。平均の検定のように t 分布を使うのではなく、不偏分散をカイ二乗分布に接続します。

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3. 適合度検定

適合度検定は、観測されたカテゴリ別度数が、理論上期待される度数と合っているかを調べる検定です。

典型例は「サイコロが公平か」です。6面が公平なら、各面の出る確率は $1/6$ です。実際の観測回数がこの期待から大きくずれていれば、公平とは言いにくくなります。

検定統計量

カテゴリ $i$ の観測度数を $O_i$、期待度数を $E_i$ とすると、

\[ \chi^2=\sum_i\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i} \]

です。

各項は「期待度数からのずれ」を期待度数で割って標準化したものです。観測度数と期待度数が近ければ $\chi^2$ は小さく、ずれが大きいほど $\chi^2$ は大きくなります。

なぜ $E_i$ で割るのか

観測度数と期待度数の差 $O_i-E_i$ だけを見ると、期待度数が大きいカテゴリほど差も大きくなりやすくなります。そこで、期待度数 $E_i$ で割って、相対的なずれとして評価します。

また、差を二乗することで、正のずれと負のずれが打ち消し合わないようにしています。カイ二乗統計量は、カテゴリごとの標準化されたずれの合計です。

手順

  1. 帰無仮説として理論分布を置く
  2. 各カテゴリの期待度数を計算する
  3. $\chi^2$ 統計量を計算する
  4. 自由度を確認する
  5. カイ二乗分布表または p 値で判定する

たとえば、サイコロを600回振り、各面の期待度数が100回なら、観測度数との差を使って $\chi^2$ を計算します。

自由度

理論確率が完全に指定されている場合、自由度は基本的に

\[ df=k-1 \]

です。ここで $k$ はカテゴリ数です。

ただし、データから分布の母数を推定してから適合度検定を行う場合は、推定した母数の数だけ自由度を差し引きます。

\[ df=k-1-m \]

$m$ は推定した母数の数です。

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4. 独立性検定

独立性検定は、2つの質的変数が独立かどうかを調べます。たとえば「性別」と「商品購入の有無」、「学習方法」と「合格/不合格」のような組み合わせです。

期待度数

$r$ 行 $c$ 列の分割表で、行合計を $R_i$、列合計を $C_j$、総数を $N$ とします。独立であれば、セル $(i,j)$ の期待度数は

\[ E_{ij}=\frac{R_iC_j}{N} \]

です。

これは「行に属する割合」と「列に属する割合」を掛け合わせ、全体数に戻していると考えると直感的です。

期待度数の式の意味

独立であれば、「行 $i$ に入ること」と「列 $j$ に入ること」は別々に考えられます。行 $i$ に入る割合は $R_i/N$、列 $j$ に入る割合は $C_j/N$ です。

独立なら同時に起きる割合は積で表せるので、

\[ \frac{R_i}{N}\cdot\frac{C_j}{N} \]

です。これに総数 $N$ を掛けると、期待度数 $R_iC_j/N$ になります。

検定統計量

\[ \chi^2=\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{c}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}} \]

自由度は

\[ df=(r-1)(c-1) \]

です。

適合度検定との違い

観点 適合度検定 独立性検定
データ 1つのカテゴリ変数 2つのカテゴリ変数
見たいこと 理論分布に合うか 2変数が独立か
期待度数 理論確率から計算 行合計・列合計から計算
自由度 $k-1$ が基本 $(r-1)(c-1)$

5. 頻出のひっかけ

期待度数が小さすぎる場合

カイ二乗検定は近似に基づく検定です。期待度数が小さいセルが多いと、近似が悪くなります。統計検定2級では、期待度数が十分大きいかを確認する問題が出ることがあります。

「独立でない」は因果を意味しない

独立性検定で帰無仮説を棄却できても、それは「2つの変数に統計的な関連がある」ことを示すだけです。一方が他方の原因であるとは限りません。

自由度を取り違えない

  • 母分散の検定：$n-1$
  • 適合度検定：カテゴリ数から制約数を引く
  • 独立性検定：$(r-1)(c-1)$

この3つを混同しないことが重要です。

確認問題

問題1

ある製品の重量は正規分布に従うとする。標本サイズ $n=16$、不偏分散 $S^2=9$ が得られた。母分散が $\sigma_0^2=4$ であるかを検定するときの検定統計量を求めてください。

解答を見る
\[ \chi^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}=\frac{15\times 9}{4}=33.75 \]

自由度は $n-1=15$ です。

問題2

2行3列の分割表で独立性検定を行う。自由度を求めてください。

解答を見る
\[ df=(r-1)(c-1)=(2-1)(3-1)=2 \]

まとめ

論点 押さえること
母分散の検定 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2_{n-1}$
適合度検定 観測度数と理論上の期待度数を比べる
独立性検定 分割表で2つの質的変数の独立性を見る
期待度数 独立性検定では $E_{ij}=R_iC_j/N$
自由度 検定ごとに数え方が違う

カイ二乗検定は「全部同じ公式」に見えますが、問われている対象を先に見抜けば整理できます。次章では、量的変数どうしの関係を扱う相関と単回帰に進みます。

この章のあとに解きたい演習

本文を読んだら、次の問題で「公式を選ぶ」「条件を読む」「計算する」練習に移りましょう。