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条件付き確率とベイズの定理

Stage 2 — 第5章 | 統計検定2級チートシート 推定学習時間：45〜60分 | 難易度：★★★☆☆

この章で学ぶこと

条件付き確率は、「ある情報がわかった後で、確率をどう更新するか」を表す考え方です。 ベイズの定理は公式として暗記されがちですが、統計検定2級では検査陽性問題、事前確率と事後確率、独立性の判定などで使われます。

この章を終えると、こんなことができるようになります：

  • 条件付き確率の定義を使って計算できる
  • 独立と条件付き確率の関係を説明できる
  • ベイズの定理を、確率更新の式として理解できる
  • 検査陽性問題を分母の全確率から整理できる
  • ベイズ統計との違いを補足的に理解できる

1. 条件付き確率の定義

条件付き確率は、事象 $B$ が起きたことがわかっているもとで、事象 $A$ が起きる確率です。

\[ P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \]

ただし、$P(B)>0$ が必要です。

この式は、標本空間を $B$ に絞り込んで、その中で $A$ も起きている割合を見る式です。

分母が $P(B)$ になる理由

条件付き確率では、条件 $B$ が起きた世界だけを見ています。つまり、元の全体ではなく、$B$ の領域を新しい全体として扱います。

$A\cap B$ は「$B$ が起きたうえで $A$ も起きた部分」です。これを $B$ 全体で割ることで、$B$ の中に $A$ がどれくらい含まれるかを測っています。

記号 意味
$P(A)$ 事象Aが起きる確率
$P(A|B)$ Bが起きた条件のもとでAが起きる確率
$P(A\cap B)$ AとBが同時に起きる確率

[図1] 条件付き確率のベン図 条件付き確率のベン図

2. 乗法定理

条件付き確率の定義を変形すると、同時確率を求める式になります。

\[ P(A\cap B)=P(A|B)P(B) \]

また、同じ同時確率を別の順番で書くこともできます。

\[ P(A\cap B)=P(B|A)P(A) \]

したがって、次の関係が成り立ちます。

\[ P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A) \]

ベイズの定理は、この関係を $P(A|B)$ について解いたものです。

ベイズの定理は新しい公式ではない

ベイズの定理は、条件付き確率の定義を2通りに書いただけです。

\[ P(A\cap B)=P(A|B)P(B) \]
\[ P(A\cap B)=P(B|A)P(A) \]

同じ同時確率を表しているので、両者を等しいと置いて整理するとベイズの定理になります。丸暗記するより、「同時確率を2方向から書いている」と理解すると忘れにくくなります。

3. 独立と条件付き確率

2つの事象 $A$ と $B$ が独立であるとは、片方が起きたことを知っても、もう片方の確率が変わらないことです。

\[ P(A|B)=P(A) \]

同値な形として、次の式もよく使います。

\[ P(A\cap B)=P(A)P(B) \]

独立は「同時に起こらない」という意味ではありません。互いに影響しない、確率が変わらない、という意味です。

関係 意味
独立 片方を知っても確率が変わらない
排反 同時に起こらない

排反と独立を混同しないようにしましょう。排反で $P(A)>0$、$P(B)>0$ なら、$P(A\cap B)=0$ なので通常は独立ではありません。

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4. ベイズの定理

ベイズの定理は、条件付き確率を逆向きに計算するための式です。

\[ P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} \]

ここで、分母 $P(B)$ は全確率の公式で分解できます。

\[ P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A^c)P(A^c) \]

統計検定2級では、この分母を正しく作れるかがよく問われます。

ベイズの用語 確率の意味
事前確率 情報を見る前の $P(A)$
尤度 Aが真のときにBが起きる確率 $P(B|A)$
事後確率 Bを見た後の $P(A|B)$

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5. 検査陽性問題の典型パターン

ベイズの定理で頻出なのが、病気の検査や不良品検査の問題です。

例として、次の設定を考えます。

  • 病気である確率：$P(A)=0.01$
  • 病気の人が陽性になる確率：$P(B|A)=0.99$
  • 病気でない人が陽性になる確率：$P(B|A^c)=0.05$

陽性になった人が本当に病気である確率は、次のように求めます。

\[ P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|A^c)P(A^c)} \]

数値を入れると、

\[ P(A|B)=\frac{0.99\times0.01}{0.99\times0.01+0.05\times0.99} \]

ここで大切なのは、陽性者の中には「病気で陽性」と「病気でないのに陽性」が混ざっていることです。検査精度が高くても、病気の事前確率が低いと、事後確率は思ったほど高くならないことがあります。

直感に反する理由

病気の人が非常に少ない場合、病気でない人の数が圧倒的に多くなります。そのため、偽陽性率が小さくても、陽性者全体の中では偽陽性が無視できない数になります。

このタイプの問題では、感度 $P(B|A)$ だけを見ず、事前確率 $P(A)$ と偽陽性率 $P(B|A^c)$ を同時に見る必要があります。

陽性者の内訳を人数で見る

同じ設定を10,000人に当てはめると、陽性者の中身は次のように整理できます。

実際の状態 人数 陽性になる割合 陽性者数 陽性者内での意味
病気 100人 99% 99人 真陽性
病気でない 9,900人 5% 495人 偽陽性
合計 10,000人 - 594人 陽性者全体

したがって、陽性者が本当に病気である確率は $99 / 594 \approx 0.167$、つまり約16.7%です。

6. 表で整理すると間違えにくい

ベイズの定理が苦手な場合は、式から始めるよりも表で整理すると安全です。

陽性 陰性 合計
病気 $P(B|A)P(A)$ $P(B^c|A)P(A)$ $P(A)$
病気でない $P(B|A^c)P(A^c)$ $P(B^c|A^c)P(A^c)$ $P(A^c)$
合計 $P(B)$ $P(B^c)$ 1

陽性という条件が与えられたら、分母は陽性列の合計です。分子は、その中で病気かつ陽性の部分です。

この表の見方は、条件付き確率と分割表の橋渡しになります。

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7. ベイズ統計への補足

統計検定2級では、ベイズの定理そのものを確率計算として使う問題が中心です。 一方、ベイズ統計では、未知の母数にも確率分布を置き、データを観測した後に事後分布へ更新します。

\[ \text{事後分布}\propto\text{尤度}\times\text{事前分布} \]

これは発展的な内容ですが、ベイズの定理と同じ「情報が入ったら確率を更新する」という発想に基づいています。

信用区間やHPD区間は、頻度論の信頼区間とは解釈が異なります。2級の合格だけなら深入りしすぎる必要はありませんが、発展として区別しておくと役立ちます。

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8. 試験での典型問題

条件付き確率とベイズの問題では、次のような形式が多く出ます。

  • $P(A|B)$ と $P(B|A)$ を取り違えない問題
  • 独立なら $P(A|B)=P(A)$ と判断する問題
  • 排反と独立を区別する問題
  • 検査陽性問題で分母の全確率を作る問題
  • 事前確率が低いときの事後確率を解釈する問題

特に、問題文に「AのときB」「BだったときA」とある場合は、条件の向きを必ず確認しましょう。

試験で問われやすいポイント

  • 条件付き確率は $P(A|B)=P(A\cap B)/P(B)$
  • 独立なら $P(A|B)=P(A)$、または $P(A\cap B)=P(A)P(B)$
  • 排反と独立は別概念
  • ベイズの定理では分母 $P(B)$ を全確率で作る
  • 検査陽性問題は、表で「陽性列の合計」を分母にすると間違えにくい
  • ベイズ統計は発展として、事前分布から事後分布への更新と理解する

この章のあとに解きたい演習

本文を読んだら、次の問題で「公式を選ぶ」「条件を読む」「計算する」練習に移りましょう。