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推定と信頼区間：点推定・不偏性・母平均・母比率・母分散

Stage 2 — 第9章 | 統計検定2級チートシート 推定学習時間：65〜80分 | 難易度：★★★★☆

この章で学ぶこと

推定とは、標本データから母集団の未知の値を見積もることです。統計検定2級では、母平均、母比率、母分散の推定が頻出します。

推定では、単に1つの値を出すだけでなく、「どのくらい不確実なのか」まで含めて考えます。そのために使うのが、標準誤差と信頼区間です。

この章を終えると、こんなことができるようになります：

  • 点推定と区間推定の違いを説明できる
  • 不偏性と不偏分散の意味を説明できる
  • 母平均の信頼区間で、母分散既知・未知を使い分けられる
  • 母比率の信頼区間を計算できる
  • 母分散の信頼区間でカイ二乗分布を使う理由を説明できる

1. 推定とは何か

統計学で知りたいのは、多くの場合、母集団の性質です。例えば、全国の有権者の支持率、全顧客の平均購入額、製品重量のばらつきなどです。

しかし、母集団全体を調べることは難しいため、標本から母集団のパラメータを推定します。

推定対象 記号 標本からの推定量
母平均 $\mu$ 標本平均 $\bar{X}$
母比率 $p$ 標本比率 $\hat{p}$
母分散 $\sigma^2$ 不偏分散 $S^2$

推定には、点推定と区間推定があります。

2. 点推定と区間推定

2.1 点推定

点推定は、母数を1つの値で推定する方法です。

母平均 $\mu$ の点推定量として、標本平均を使います。

\[ \bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i \]

母比率 $p$ の点推定量として、標本比率を使います。

\[ \hat{p}=\frac{X}{n} \]

ここで、$X$ は標本中で関心のある属性を持つ個体数です。

点推定だけでは足りない理由

点推定は1つの値で答えられるため分かりやすい一方、その値がどれくらい不確実なのかを示しません。標本平均が50でも、標本サイズが10なのか1000なのかで信頼度は大きく変わります。

そのため、統計検定2級では点推定と区間推定をセットで考えます。点推定は中心、区間推定はその周りの不確実性を表します。

2.2 区間推定

区間推定は、母数が入りそうな範囲を推定する方法です。この範囲を信頼区間と呼びます。

一般的な形は、

\[ 推定値 \pm 臨界値 \times 標準誤差 \]

です。

信頼区間の幅は、次の要因で変わります。

  • 標準誤差が大きいほど広くなる
  • 信頼係数を高くするほど広くなる
  • 標本サイズが大きいほど狭くなる

「臨界値 × 標準誤差」の意味

標準誤差は、推定量がどれくらいばらつくかを表します。臨界値は、そのばらつきを何個分まで許容するかを決める係数です。

95%信頼区間で標準正規分布を使う場合に1.96が出るのは、標準正規分布の中央95%を覆う範囲が、おおよそ $-1.96$ から $1.96$ までだからです。

[図1] 信頼区間の幅を決める要因 信頼区間の幅が標本サイズと信頼係数によって変わる図

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3. 不偏性と不偏分散

推定量 $\hat{\theta}$ の期待値が、推定対象の真の値 $\theta$ に等しいとき、その推定量は不偏であるといいます。

\[ E[\hat{\theta}]=\theta \]

母平均に対する標本平均は不偏推定量です。

\[ E[\bar{X}]=\mu \]

一方、分散を推定するときは、単純に $n$ で割ると母分散を小さめに見積もりやすくなります。そのため、母分散の推定では $n-1$ で割る不偏分散を使います。

\[ S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2 \]
\[ E[S^2]=\sigma^2 \]

$n-1$ は自由度です。標本平均 $\bar{X}$ をデータから推定した時点で、偏差のうち1つ分の自由度が失われると考えます。

なぜ $n$ ではなく $n-1$ で割るのか

標本分散を計算するとき、平均との差 $(X_i-\bar{X})$ の合計は必ず0になります。つまり、$n$ 個の偏差のうち、最後の1個は残り $n-1$ 個が決まると自動的に決まります。

自由に動ける偏差が $n-1$ 個しかないため、母分散を推定するときは $n-1$ で割ります。これにより、標本分散が母分散を平均的に正しく推定するようになります。

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4. 母平均の信頼区間

4.1 母分散が既知の場合

母分散 $\sigma^2$ が既知で、母集団が正規分布、または標本サイズが十分大きい場合、標準正規分布を使います。

信頼係数 $1-\alpha$ の信頼区間は、

\[ \bar{X}\pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

です。

ここで、$z_{\alpha/2}$ は標準正規分布の上側 $\alpha/2$ 点です。95%信頼区間では、おおよそ $1.96$ を使います。

なぜこの式になるのか

母分散が既知なら、

\[ Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \]

は標準正規分布に従います。中央に $1-\alpha$ の確率が入るように、

\[ -z_{\alpha/2}\le Z\le z_{\alpha/2} \]

と置き、この不等式を $\mu$ について解くと、母平均の信頼区間になります。式を丸暗記するより、標準化した不等式を $\mu$ について解いていると理解しましょう。

4.2 母分散が未知の場合

母分散が未知の場合は、標本標準偏差 $S$ を使い、t分布を参照します。

\[ \bar{X}\pm t_{n-1,\alpha/2}\frac{S}{\sqrt{n}} \]

自由度は $n-1$ です。

母分散が未知だと、標本分散による推定の不確実性が入るため、標準正規分布ではなくt分布を使います。

t分布を使う直感

母分散が未知の場合、標準誤差の分母に入る $S$ も標本から推定しています。そのぶん、標準正規分布より不確実性が大きくなります。

t分布はこの不確実性を反映して、標準正規分布より裾が厚くなります。標本サイズが小さいほど裾の厚さが効くため、小標本では特にt分布を使う意味が大きくなります。

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5. 母比率の信頼区間

母比率 $p$ は、母集団におけるある性質を持つ割合です。例えば、支持率、不良品率、クリック率などが該当します。

標本比率は、

\[ \hat{p}=\frac{X}{n} \]

です。

標本サイズが十分大きいとき、標本比率は近似的に正規分布に従います。そのため、信頼係数 $1-\alpha$ の信頼区間は、

\[ \hat{p}\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \]

となります。

この式の平方根部分は、標本比率の標準誤差です。

\[ SE(\hat{p})=\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \]

背景には、二項分布の分散 $np(1-p)$ と正規近似があります。

標本比率の標準誤差の由来

標本中の成功数を $X$ とすると、$X\sim B(n,p)$ と考えられます。二項分布の分散は $np(1-p)$ です。

標本比率は $\hat{p}=X/n$ なので、分散は

\[ Var(\hat{p})=Var\left(\frac{X}{n}\right)=\frac{1}{n^2}np(1-p)=\frac{p(1-p)}{n} \]

となります。実際には $p$ は未知なので、信頼区間では $\hat{p}$ を代入して標準誤差を推定します。

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6. 母分散の信頼区間

母分散 $\sigma^2$ の推定では、カイ二乗分布を使います。母集団が正規分布に従うとき、

\[ \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1} \]

です。

この関係から、母分散の信頼係数 $1-\alpha$ の信頼区間は、

\[ \left[\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2,n-1}},\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,n-1}}\right] \]

と表せます。

カイ二乗分布は左右対称ではないため、母分散の信頼区間は $S^2$ を中心とした左右対称な区間にはなりません。ここは平均の信頼区間との大きな違いです。

分散の信頼区間が左右対称でない理由

母平均の信頼区間では、正規分布やt分布のような左右対称な分布を使うことが多いです。一方、母分散ではカイ二乗分布を使います。カイ二乗分布は0以上の値しか取らず、右に裾が長い分布です。

そのため、母分散の信頼区間は「推定値 ± 誤差幅」という左右対称な形にはなりません。分散を扱うときは、平均の区間推定と同じ感覚で処理しないことが重要です。

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7. 信頼係数と有意水準の関係

信頼係数 $1-\alpha$ と有意水準 $\alpha$ は表裏の関係です。

信頼係数 有意水準 両側で片側に残る確率
90% 10% 5%
95% 5% 2.5%
99% 1% 0.5%

95%信頼区間なら、両端に $2.5\%$ ずつの確率を残すため、標準正規分布では $z_{0.025}\approx1.96$ を使います。

注意： 95%信頼区間は、「今回計算した区間に母数が95%の確率で入っている」という意味ではありません。同じ手順で何度も区間を作ったとき、そのうち約95%が母数を含む、という意味です。

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8. 試験で問われやすいポイント

推定対象 推定量 信頼区間で使う分布
母平均、母分散既知 $\bar{X}$ 標準正規分布
母平均、母分散未知 $\bar{X}$ t分布
母比率 $\hat{p}$ 標準正規分布近似
母分散 $S^2$ カイ二乗分布

よくあるひっかけ： 母平均の信頼区間で、母分散が未知なのに標準正規分布を使ってしまうミスが多いです。小標本かつ母分散未知なら、基本はt分布です。

9. 次の章への接続

推定では「母数がどの範囲にありそうか」を考えました。次の章では、「仮説とデータが矛盾しているか」を判断する仮説検定の基礎を扱います。

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この章のあとに解きたい演習

本文を読んだら、次の問題で「公式を選ぶ」「条件を読む」「計算する」練習に移りましょう。